1、第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 学 习 目 标核 心 素 养 1.会用定积分求平面图形的面积(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功(重点、难点)通过利用定积分求解曲边梯形的面积、变速直线运动的路程和变力做功的学习，培养学生的数学建模及直观想象、数学运算的核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数 f(x)在a，b上是连续函数，由直线 y0，xa，xb 与曲线 yf(x)围成的曲边梯形的面积为 S，填表：f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系 f(x)0Sf(x)0Sabf(x)dxabf(x)dx(2)一般地，如图所示，如
2、果在公共的积分区间a，b上有 f(x)g(x)，那么直线 xa，xb 与曲线 yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积为 S.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分abf(x)g(x)dx2变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即 s.abv(t)dt思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？提示 不同路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念3变力做功 如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F(x)相同的方向从 xa 移动到 xb(a0)的图象所围成的阴影部分(如
3、图所示)的面积为43，则 k_.(2)求由曲线 y x，y2x，y13x 所围成的图形的面积(1)2 由yx2，ykx，解得x0，y0，或xk，yk2，故阴影部分的面积为0k(kxx2)dx 12kx213x3k0 12k313k316k343，解得 k2.(2)解 画出图形，如图所示解方程组y x，xy2，y x，y13x 及xy2，y13x，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，所以 S01x13x dx132x13x dx01x13x dx132x13x dx23x3216x210 2x12x216x231 23162x13x231 566139213136.1.(变条件)
4、把本例(1)的条件变为“如图所示，已知点 A0，14，点P(x0，y0)(x00)在曲线 yx2 上，若阴影部分的面积与OAP 的面积相等”，则 x0_.解 由题意知 12x0140 x0 x2dx，即18x013x30，解得 x0 64 或 x0 64 或 x00.x00，x0 64.2(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线 yx2 在点 P(2,4)处的切线与曲线及 x 轴所围成的图形面积为 S”，求 S.解 y|x24，故曲线在 P 点处的切线方程为 y44(x2)，即 y4x4，故所求面积 S01x2dx12(x24x4)dx13x310 13x32x24x21 23.3(变条件)把本
5、例(2)的条件改为“求由曲线 y2x，y2x 所围成的图形的面积”解 由y2xxy2，得 x1y1 或x4y2.阴影部分的面积 S21(2yy2)dy2yy22y33 12 21213 4283 92.求曲边梯形面积的一般步骤求变速直线运动的路程【例 2】有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)8t2t2(速度的正方向与 x 轴正方向一致)求：(1)P 从原点出发，当 t6 时，求点 P 移动的路程和离开原点的位移；(2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值解(1)由 v(t)8t2t20 得 0t4，即当 0t4 时，P 点向 x 轴正方向运动，当 t
6、4 时，P 点向 x 轴负方向运动 故 t6 时，点 P 移动的路程 s104(8t2t2)dt46(8t2t2)dt 4t223t340 4t223t364 1283.当 t6 时，点 P 的位移为06(8t2t2)dt4t223t360 0.(2)依题意0t(8t2t2)dt0，即 4t223t30，解得 t0 或 t6，t0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，t6 是从原点出发，又返回原点所用的时间做变速直线运动的物体，从时刻 ta 到时刻 tb(ab)所经过的路程 s 和位移 s情况如下：(1)若 v(t)0，则 sabv(t)dt；sabv(t)dt.即 ss.(2)若 v(t)
7、0，则 sabv(t)dt；sabv(t)dt.即 ss.(3)若在区间a，c上，v(t)0，在区间c，b上 v(t)0，则 sacv(t)dtcbv(t)dt，sabv(t)dt.所以求路程时要事先求得速度的正负区间跟进训练1有一辆汽车以每小时 36 km 的速度沿平直的公路行驶，在 B处需要减速停车设汽车以 2 m/s2 的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？解 设从开始刹车到停车，汽车经过了 t s.v036 km/h10 m/s，v(t)v0at102t.令 v(t)0，解得 t5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为 s05(102t)dt(10tt2)50 25(m
8、)故从开始刹车到停车，汽车行驶了 25 m.求变力做功【例 3】设有一个长为 25 cm 的弹簧，若加以 100 N 的力，则弹簧伸长到 30 cm，求使弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 所做的功解 设 x 表示弹簧伸长的长度，f(x)表示加在弹簧上的力，则 f(x)kx(其中常数 k 为比例系数)因为当 f(x)100 时，x5，所以 k20.所以 f(x)20 x.弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 时，弹簧伸长的长度 x 从 0 cm 变化到 15 cm，故所做的功 W015 20 xdx10 x21502 250(Ncm)22.5(J)求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函
9、数式 F(x)，确定物体在力的方向上的位移(2)利用变力做功的公式 WabF(x)dx 计算(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳跟进训练2一物体在力 F(x)2，0 x2，2x2，x2，(单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向，从 x0 处运动到 x4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为()A10 J B12 J C14 J D16 JB W022dx24(2x2)dx2x20(x22x)42 4(16844)12(J)课 堂 小 结 提 素 养 1对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时：(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标(2)确定
10、被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的2已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消3利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x 单位：m.1
11、在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中，正确的有()Sbaf(x)g(x)dx S08(2 2x2x8)dx S14f xdx47f xdx S0agxf xdxabf xgxdx A B C DD 错误，Sabf(x)g(x)dx；错误，S042 2xdx48(2 2x2x8)dx；正确2曲线 ycos x0 x32 与坐标轴所围图形的面积是()A2 B3 C52 D4B S02 cos xdx232 cos xdxsin x20sin x322sin 2sin 0sin 32 sin 210113.3.一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度 v(t)270.9t，则列车刹车后前进多少米才能
12、停车()A405B540C810D945A 停车时 v(t)0，由 270.9t0，得 t30，s030v(t)dt030(270.9t)dt(27t0.45t2)300405.4设 a0，若曲线 y x与直线 xa，y0 所围成封闭图形的面积为 a2，则 a_.49 由已知得 S0a xdx23x32a0 23a32a2，所以 a1223，所以 a49.5一物体在变力 F(x)36x2(N)的作用下沿坐标平面内 x 轴的正方向由 x8 m 处运动到 x18 m 处，求力 F(x)在这一过程中所做的功解 由题意得力 F(x)在这一过程中所做的功为 F(x)在8,18上的定积分，从而 W818F(x)dx36x1188(36181)(3681)(2)92 52(J)从而可得力 F(x)在这一过程中所做的功为52 J.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
