1、课前自学课堂互动课堂达标1.3.2 奇偶性 目标定位 1.结合具体函数，理解函数奇偶性的含义，会判断简单函数的奇偶性.2.了解奇(偶)函数图象的对称性，会利用函数的奇偶性解决一些简单问题.课前自学课堂互动课堂达标1.函数奇偶性的概念 自 主 预 习(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内_一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内_一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做奇函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有_.f(x)f(x)任意任意f(x)f(x)奇偶性课前自学课堂互动课堂达标温馨提示：注意函数奇偶性定义中x的任
2、意性，不能认为某个(或某些)x使定义中的等式成立，这个函数就是奇函数或偶函数.2.奇偶函数的图象对称性(1)奇函数的图象关于_对称.反过来，若一个函数的图象关于_对称，那么这个函数是_.(2)偶函数的图象关于_对称.反过来，若一个函数的图象关于_对称，那么这个函数是偶函数.原点原点奇函数y轴y轴课前自学课堂互动课堂达标3.奇偶性与单调性(1)奇函数在区间a，b和b，a(ba0)上有相同的单调性.(2)偶函数在区间a，b和b，a(ba0)上有相反的单调性.课前自学课堂互动课堂达标即 时 自 测 1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x)0 既是奇函数又是偶函数.()(2)若函数 y
3、f(x)满足 f(x)f(x)0，则 yf(x)是偶函数；若函数 yf(x)满足 f(x)f(x)0，则 yf(x)是奇函数.()(3)对于定义在 R 上的函数 f(x)，若 f(2)f(2)，则函数f(x)一定是偶函数.()课前自学课堂互动课堂达标提示(1)错，f(x)0 在定义域需关于原点对称的情况下既是奇函数又是偶函数.既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为 f(x)0 且其定义域是关于原点对称的非空数集.(2)对，因为 yf(x)是偶函数f(x)f(x)f(x)f(x)0；yf(x)是奇函数f(x)f(x)f(x)f(x)0.(3)错，仅有 f(2)f(2)，不足以确定函数的奇偶
4、性，不满足定义中的“任意”，故不一定是偶函数.答案(1)(2)(3)课前自学课堂互动课堂达标2.函数f(x)x3(x(2，2)的奇偶性为()A.奇函数B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数 解析 函数f(x)x3(x(2，2)的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数.答案 D 课前自学课堂互动课堂达标3.下列函数中，既是奇函数又在(0，)上是增函数的为()A.yx1 B.yx|x|C.y1xD.yx3解析 由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除C、D，由yx|x|的图象可知当x0时此函数为增函数，又该函数为奇函数.答案 B 课前自学课堂互动课堂达标4.若函数f(x)ax
5、22在3a，5上是偶函数，则a_.解析 由题意可知3a5，a8.答案 8 课前自学课堂互动课堂达标类型一 函数奇偶性的判断【例 1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x2 2x；(2)f(x)1x2|x2|2；(3)f(x)x1，x0，x1，x0，则 f(x)1x2|x2|2 1x2x.f(x)1（x）2x 1x2xf(x)，f(x)1x2|x2|2是奇函数.(3)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称.当 x0 时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当 x0，f(x)1(x)1xf(x).综上可知，对于 x(，0)(0，)，都有 f(x)f(x)，f(x)为偶函数.课前自学课堂
6、互动课堂达标规律方法 1.用定义判断函数奇偶性的步骤：先求定义域，看是否关于原点对称；若定义域关于原点对称，再判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否恒成立.2.若已知函数的图象或可以作出函数的图象，则观察图象是否关于原点或y轴对称，依此判断函数的奇偶性.课前自学课堂互动课堂达标【训练 1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)32|x|；(2)f(x)x21 1x2；(3)f(x)2xx3.解(1)函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称，又 f(x)32|x|32|x|f(x)，f(x)为偶函数.课前自学课堂互动课堂达标(2)函数 f(x)的定义域为1，1，关于原点对称，且 f(x)0，
7、又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)函数 f(x)的定义域为x|x3，不关于原点对称.f(x)是非奇非偶函数.课前自学课堂互动课堂达标类型二 奇偶函数的图象问题 【例 2】已知奇函数 f(x)的定义域为5，5，且在区间0，5上的图象如图所示，则使函数值 y0 的 x 的取值集合为_.解析 因为函数 f(x)是奇函数，所以 yf(x)在5，5上的图象关于原点对称.由 yf(x)在0，5上的图象，可知它在5，0上的图象，如图所示.由图象知，使函数值 y0 的 x 的取值集合为(2，0)(2，5).答案(2，0)(2，5)课前自学课堂互动课堂达标规律方法 1.给
8、出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象.作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(x0，y0)，关于y轴的对称点为(x0，y0).2.利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小、解不等式问题.课前自学课堂互动课堂达标【训练 2】设偶函数 f(x)的定义域为5，5，若当 x0，5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0 的解集是_.解析 由于偶函数的图象关于 y 轴对称，所以可根据对称性确定不等式 f(x)0 的解.当 x0，5时，f(x)0 的解为 2x5.所以当 x5，0时，f
9、(x)0 的解为5x2.f(x)0 的解是5x2 或 2x5.答案 x|5x2，或20，ax2x，x0是奇函数，则 a_.解析 当 x0，f(x)(x)2(x)x2x.又 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)x2x，因此 ax2xx2x，得 a1.课前自学课堂互动课堂达标类型四 利用函数的奇偶性求解析式(互动探究)【例 4】若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x22x3.(1)求 f(2)；(2)求 f(x)的解析式.思路探究探究点一 怎样由条件求 f(2)的值？提示 由条件可求 f(2)，利用奇函数得 f(2)f(2).探究点二 求 f(x)在 xR 上的解析式，
10、如何求 x0 与 x0 的解析式，利用奇偶性可求 x0 时，f(x)x22x3，所以 f(2)f(2)(22223)3.(2)当 x0，f(x)(x)22(x)3x22x3.又 f(x)为奇函数，f(x)f(x)，所以 f(x)x22x3(x0，0，x0，x22x3，x0.课前自学课堂互动课堂达标规律方法 1.本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x0的情形.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0.2.利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x，则x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式.课前自学课堂
11、互动课堂达标【训练 4】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，x0 时，f(x)x22x，则函数 f(x)在 R 上的解析式是()A.f(x)x(x2)B.f(x)x(|x|2)C.f(x)|x|(x2)D.f(x)|x|(|x|2)解析 因为 f(x)在 R 上是偶函数，且 x0 时，f(x)x22x，所以当 x0，f(x)(x)22xx22x，则 f(x)f(x)x22xx(x2).又当 x0 时，f(x)x22xx(x2)，因此 f(x)|x|(|x|2).答案 D 课前自学课堂互动课堂达标课堂小结1.定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的一个条件，f(x)f
12、(x)或 f(x)f(x)是定义域上的恒等式.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式 f(x)f(x)f(x)f(x)0f（x）f（x）1(f(x)0).课前自学课堂互动课堂达标3.(1)若 f(x)0 且 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.(3)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，那么一定有 f(0)0；如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|).课前自学课堂互动课堂达标1.已知yf
13、(x)，x(a，a)，F(x)f(x)f(x)，则F(x)是()A.奇函数B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数 解析 F(x)f(x)f(x)F(x).又因为x(a，a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数 答案 B 课前自学课堂互动课堂达标2.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0，f(x)2x2x，则f(1)等于()A.3B.1C.1D.3 解析 f(x)是奇函数，f(1)f(1)3.答案 A 课前自学课堂互动课堂达标3.若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.解析 由f(x)(xa)(x4)得f(x)x2(a4)x4a，若f(x)为偶函数，则a40，即a4.答案 4 课前自学课堂互动课堂达标4.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x2x2，求f(x)，g(x)的解析式.解 因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，由f(x)g(x)x2x2，得f(x)g(x)(x)2x2，即f(x)g(x)x2x2，由得f(x)x22，g(x)x.
