1、3个附加题综合仿真练(五)1本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A选修41：几何证明选讲 如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，D是弧AC的中点，DEAB于E，AC与DE交于点M，求证：AMDM.证明：连结AD，因为AB为直径，所以ADBD，又DEAB，所以ABDADE.因为D是弧AC的中点，所以DACABD，所以ADEDAC.所以AMDM. B选修42：矩阵与变换已知向量是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量在平面直角坐标系xOy中，点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P(3,3)，求矩阵A.解：设A，因为向量是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量，所以(1).所以因为点P(1
2、,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P(3，3)，所以.所以由解得a1，b2，c2，d1，所以A.C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知直线(n为参数)与曲线(t为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长解：法一：将曲线(t为参数)化为普通方程为y28x. 将直线(n为参数)代入y28x得，n28n240，解得n12，n26.则|n1n2|4， 所以线段AB的长为4.法二：将曲线(t为参数)化为普通方程为y28x, 将直线(n为参数)化为普通方程为xy0，由得或所以AB的长为 4.D选修45：不等式选讲已知函数f(x)，g(x)，若存在实数x使f(x)g(x)a成立，求实数a的
3、取值范围解：存在实数x使f(x)g(x)a成立，等价于f(x)g(x)的最大值大于a，因为f(x)g(x)1，由柯西不等式得，(1)2(31)(x214x)64，所以f(x)g(x)8，当且仅当x10时取“”，故实数a的取值范围是(，8)2.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC45，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点(1)求异面直线AB与MD所成角的大小；(2)求平面OAB与平面OCD所成锐二面角的余弦值解：作APCD于点P，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(
4、0,0,1)(1)设直线AB与MD所成角为，由(1,0,0)，则cos |cos，|，故AB与MD所成角为60.(2)，设平面OCD的法向量n(x，y，z)，则即取z，则n(0,4，). 易得平面OAB的一个法向量为m(0,1,0)，cosn，m， 故平面OAB与平面OCD所成锐二面角的余弦值为.3设ab0，n是正整数，An(anan1ban2b2a2b n2 abn1bn) ，Bnn.(1)证明：A2B2；(2)比较An与Bn(nN*)的大小，并给出证明解：(1)证明：A2B2(a2abb2)2(ab)20.(2)AnBn，证明如下：当n1时，A1B1；当n3时，An，Bnn，令abx，aby，且x0，y0，于是An(xy)n1(xy)n1，Bnn，因为(xy)n1(xy)n1(2Cxny2Cxn2y3)2Cxny，所以An2CxnynBn.
