1、安徽师范大学附属中学2021届高三5月最后一卷2021.5.271高三文科数学试卷 答案123456789101112CDCABDBCDDCD一、选择题1.设函数 29f xx的定义域 A，函数 ln 2g xx的定义域为 B，则集合 AB为（C）A.（2，3）B.2,3C.3,2D.（-3，2）2.已知,x yR i为虚数单位，且(2)1xiyi ，则(1)xyi的值为（D）。A4B4C 44iD 2i3.已知0.340.3 21log 3,log,2abc，则 abc，的大小关系是（C）A.abcB.acbC.bacD.bca4.达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，
2、数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对蒙娜丽莎的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于 B 点，测得如下数据：6,6,10.392ABcm BCcm ACcm（其中30.8662）.根据测量得到的结果推算：将蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（A）A.3B.4C.2D.235.“不等式022mxx在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（B）A.m0B.m2C.m1D.m16.已知奇函数3(0)()()(0)xa xf xh x x，则(2)h 的值为（D）A.109B.109C.8D.871742.年 6
3、月 7 日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于 2 的偶数都可写成两个质数的和.这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1 1”.1966 年我国数字派陈景润证明了“12”，获得了该研究的世界最优成果，若在不超过 20 的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过 20 的概率是（B）A 37B 47C 514D 914解：共有不超过 20 的所有质数行 2，3，5，7，11，13，17，19 共 8 个，从中选取 2 个不同的数有28C28种，和安徽师范大学附属中学2021届高三5月最后一卷2超过 20 的共有(2，19)，(3，19)，(5，17)，(5，19)，(7，1
4、7)，(7，19)，(11，13)，(11，17)，(11，19)，(13，17)，(13，19)，(17，19)12 种，所以两数之和不超过 20 的概率是 28 124287故选：B.8下边程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前 300 年左右提出的辗转相除法其中 x 表示不超过 x 的最大整数.执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 196 和42，则输出的 b 的值为（C）.A2B7C14D28解：初始值为196,42ab，第一次循环后，28,42,28rab，第二次循环后，14,28,14rab，第三次经过处理框执行后，0r，此时输出的 b 的值为 14故选：C.9函数2xxxye
5、的大致图象是（D）ABCD解：由题意得：222211xxxxxexx exxyee，令0y，解得：1152x，2152x，当1515,22x 时，0y；当15 15,22x时，0y；2xxxye在15,2，15,2上单调递减，在 15 15,22上单调递增，可排除 AB；当0 x 时，0y 恒成立，可排除 C.故选：D.10如图所示，边长为 2 的正ABC，以 BC 的中点 O 为圆心，BC 为直径在点 A 的另一侧作半圆弧 BC，点 P 在圆弧上运动，则 AB AP的取值范围为（D）A2，33 B4，33 C2，4D2，5解：由题可知，当点 P 在点 C 处时，AB AP最小，此时1cos2
6、 22,32AB APABAEABAC 过圆心 O 作 OP/AB 交圆弧于点 P，连接 AP，此时 AB AP最大，过 O 作 OGAB 于 G，PFAB 的延长线于 F，3则 AB AP=|AB|AF|=|AB|(|AG|+|GF|)=32152，所以 AB AP的取值范围为2，5.故选：D.11.ABC的内角 A B C，的对边分别为 a b c，.已知 sinsin4 sinsinbCcBaBC，2228bca，则ABCV的面积为（C）A3B33C 2 33D 4 33解 析：由 正 弦 定 理 知sinsin4 sinsinbCcBaBC可 化 为 sinsinsinsin4sins
7、insinBCBCABC.1sinsin0,sin2BCAQ.222 8,2cos8bcabcAQ，则 A 为锐角，3cos2A，则83bc，11812 3sin22233ABCSbcAV.12已知双曲线222210,0 xyabab左、右焦点分别为12,F F，过1F，且斜率为247的直线与双曲线在第二象限的交点为 A，若12120F FF AF A，则此双曲线的渐近线方程为（D）A32yx B2 33yx C34yx=D43yx【答案】D【解析】由题可知2112F AF AF F，若12120F FF AF A，即为 1211120F FF AF AF F，可得22112F AF F.即有
8、1212AFF Fc，由双曲线的定义可知212,AFAFa可得222AFac.由于过1F的直线斜率为247所以在等腰三角形12AF F 中1224tan7AF F，则127cos25AF F，由余弦定理得:2221244227cos252 22ccacAF Fcc，化简得35,ca即34,55ac bc，可得:3:4,a b 所以此双曲线的渐近线方程为43yx.故选 D二、填空题13函数21()2ln2f xxxx的极值点是_1_.14.已知角 顶点为原点，始边与 x 轴非负半轴重合，点 3,1P 在终边上，则cos6 21.15已知椭圆2222:10 xyEabab的左焦点为 F，经过原点O
9、 的直线l 与椭圆 E 交于 P，Q 两点，若3PFQF，且90PFQ，则椭圆 E 的离心率为_4解：取椭圆的右焦点 F，连接QF，PF，由椭圆的对称性，可得四边形 PFQF 为平行四边形，则 PFQF，1809090FPFPF，3PFQF，而2PFPFa，所以2aPF，所以32aPF，在 Rt PFF中，2223222aac，解得：104e，故答案为：10416.已知三棱锥 ABCD中，点A 在平面BCD上的射影与点D 重合，4ADCD.若135CBD，则三棱锥 ABCD的外接球的体积为_.解析：如图，设BCD的外接圆圆心为1O，半径为 r，三棱锥 ABCD的外接球球心为 O，半径为 R，则
10、1OO 平面 BCD，故122ADOO.在BCD中，由正弦定理得 24 2sinCDrCBD，故2 2r，则2212 3RrOO.故球 O 的体积3344(2 3)32 333VR.三、解答题17.“让几千万农村贫困人口生活好起来，是我心中的牵挂”习近平总书记多次对精准扶贫、精准脱贫作出重要指示，某大学生村官为帮助某扶贫户脱贫，帮助其种植某品种金桔，并利用互联网进行网络销售，为了更好销售，现从金桔树上随机摘下 100 个果实进行测重，每个金桔质量分布在区间20,70（单位：克），并且依据质量数据作出其频率分布直方图，如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在30,40，40,50 的金桔中随机
11、抽取 5 个，再从这 5 个金桔中随机抽 2 个，求这 2 个金桔质量至少有一个不小于 40 克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率根据经验，该户的金桔种植地上大约有100000 个金桔待出售，某电商提出两种收购方案：A 方案：所有金桔均以 4 元/千克收购；B 方案：低于 40 克的金桔以 2 元/千克收购，其余的以 5 元/千克收购；请你通过计算为该户选择收益较好的方案17.解：（1）由题，得金桔质量在30,40 和40,50 的比例为 2:3，所以从质量落在30,40，40,50 的金桔中分别取 2 个和 3 个，记30,40 金桔中取的 2 个设为,
12、a b，40,50 金桔中取的 3 个设为,A B C，有,ab aA aB aC bA bB bC AB AC BC，共 10 个事件，满足题目要求的有，,aA aB aC bA bB bC AB AC BC，共 9 个事件，所以 2 个金桔质量至少有一个不小于 40 克的概率为 910；（6 分）（2）方案 B 好，理由如下：5由频率直方图可知:金桔质量在各个区间的频率依次为 0.1，0.2，0.3，0.25，0.15各个区间的金桔个数为：10000，20000，30000，25000，15000，若按 A 方案销售：(10000252000035300004525000551500065
13、)410 0018600；若按 B 方案销售：低于 40 克的金桔有(0.10.2)10000030000个，不低于 40 克的金桔有 70000 个，总收益有(10000252000035)10002(300004525000551500 065)1000520400，故选 B 方案好（12 分）18.设 等 差 数 列 na的 公 差 为1d d，前 n 项 和 为nS，等 比 数 列 nb的 公 比 为 q 已 知11210,3,23,100ba bqd S（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）记nnncab，求数列 nc的前 n 项和nT 解：（1）由题，得101211045100
14、3Sadbb q，将11ba，32qd代入上式，可得1129202ada d，解得1929ad（舍去），或112ad数列 na的通项公式为12(1)21nann ，*nN 111ba，332322qd，数列 nb的通项公式为111 33nnnb，*nN（5 分）（2）由（1）知，1(21)3nnnncabn，211231 13 353(21)3nnnTccccn 2131 33 3(23)3(21)3nnnTnn ，得21212 32 32 3(21)3nnnTn 2112333(21)3nnn 3312(21)31 3nnn 3312(21)31 3nnn(22)32nn，(1)31nnTn
15、（12 分）19已知四边形 ABCD 是直角梯形，/ABCD，45C，2AB，4CD，E，F 分别为CD，BC 的中点(如图 1)，以 AE 为折痕把 ADE折起，使点 D 到达点S 的位置且平面 SAE 平面 ABCE(如图 2).（1）求证：EFSE；（2）求点C 到平面 SEF 的距离.解：（1）证明：连结 BE，因为4CD，E 为CD 的中点，所以2DEAB，因为四边形 ABCD 是直角梯形，ABCD，所以 ABCD 是矩形，所以 BECD，6又45C，2EC，所以2ADBEEC，所以四边形 ABED 是正方形，BEC是等腰直角三角形，又 F 为 BC 的中点，所以 EFBC，又45C
16、，所以 ADE与 EFC都是等腰直角三角形，所以45DEACEF ，所以 EFAE，因为平面 SAE 平面 ABCE，平面 SAE 平面 ABCEAE，EF 平面 ABCE，所以 EF 平面 SAE，又 SE 平面 SAE，所以 EFSE；（6 分）（2）设 AE 的中点为O，连结 SO，因为平面 SAE 平面 ABCE，所以点S到 AE 的距离2SO，又1EFCS，所以1233S EFCEFCVSSO，由（1）可知，EFSE，所以12222SEFS，设点C 到平面 SEF 的距离为 h，由等体积法可得，S EFCC SEFVV，所以21233h，解得1h，所以点C 到平面 SEF 的距离为1
17、.（12 分）20.如图，21,FF为椭圆)0(1:2222babyaxC的左右焦点，ED,是椭圆的两个顶点，32|21FF，5|DE，若点),(00 yxM在椭圆C 上，则点),(00byaxN称为点 M 的一个“椭点”.直线l 与椭圆交于BA,两点，BA,两点的“椭点”分别为QP,，已知以 PQ 为直径的圆经过坐标原点O.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）试探讨 AOB的面积 S 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.【解析】（1）由题可得22222522 3abcabc解得2241ab，故椭圆 C 的标准方程为2214xy.（5 分）（2）设11(,)A x y，22
18、(,)B xy，则11(,)2xPy，22(,)2xQy.由OPOQ，即121204x xy y.（*）当直线 AB 的斜率不存在时，1121|12Sxyy.当直线 AB 的斜率存在时，设其直线为(0)ykxm m，联立2244ykxmxy得222(41)8440kxkmxm，则2216(41)km ，21224441mx xk，同理22122441mky yk，代入（*），整理得22412km，此时2160m，221222 1|1|,|1kmABkxxhmk，S=1.7综上，AOB的面积为定值 1.（12 分）21.已知函数()e,()lnxf xg xx.（1）若曲线()yf x在0 x
19、处的切线方程为 ykxb，且存在实数,m n，使得直线()ymk xnb与曲线()yg x相切，求 mn的值；（2）若函数()()()xxaf x g xx有零点，求实数 a 的取值范围.答案：（1）()e,(0)1,(0)1xfxff，所以曲线 yf x()在0 x 处的切线方程为1yx，所以1kb，2 分则()ymk xnb，即1yxmn.3 分1()g xx，则曲线 yg x()在点00,lnxx处的切线方程为0001lnyxxxx，即001ln1yxxx，从而0011,ln11xmnx ，所以01,2xmn .5 分（2）由题意知()e(ln),(0,)xxxaxx x，函数()x有零
20、点，即()0 x有根.6 分当0a 时，()0 xx，不符合题意.7 分当0a 时，函数()x有零点等价于 1lne1xxax有根.设ln()e1xxh xx，9 分则22ln1lne()e1e(1)(1ln)xxxxxh xxxxxxx，设()1lns xxx，则1()1s xx，当(01)x，时，()0s x，()s x 单调递减，当(1)x，时，()0s x，()s x 单调递增，所以()(1)20s xs，所以()0h x仅有一根1x ，且当(0,1)x时，()0,()h xh x单调递减，当(1)x，时，()0,()h xh x单调递增，所以()(1)eh xh.11 分数形结合可知
21、，若函数()x有零点，则 1ea ，从而10ea.12 分22已知平面直角坐标系 xOy 中，曲线221:1Cxy经过伸缩变换2xxyy得到曲线2C，直线l 过点1,0P，斜率为33，且与曲线2C 交于,A B 两点（1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）求11PAPB的值解：（1）由2xxyy得：12xxyy ，代入曲线1C 得：2212xy，曲线2C 的普通方程为：2214xy；8 直线l 过点1,0P，斜率为33，l 的参数方程为：31212xtyt （t 为参数）；（5 分）（2）将直线l 的参数方程代入2C 普通方程得：274 3120tt，设,A B 对应的参数为
22、12,t t，则 124 37tt，1 2127t t ，2121 21212121 21 21 241111ttt tttttPAPBttt tt tt t48482 64971237.（10 分）23已知函数 24f xxx（1）求 fx 的最大值 m；（2）已知,0,a b c，且 abcm，求证：22212abc解：（1）()24246f xxxxx，当且仅当4x 时等号成立.fx 的最大值6m.（5 分）（2）由（1）可知，6abc,又,0a b c，22222222232abcabcabc 222222222abbccaabc222222236abbcacabcabc（当且仅当2abc时取等），22212abc.（10 分）
