1、第6节三角函数的图象与性质考试要求1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.知 识 梳 理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，0)，(2，0).(2)余弦函数ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，1)，(2，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx值域1，11，
2、1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无常用结论与易错提醒1.要注意求函数yAsin(x)的单调区间时A和的符号，尽量化成0时情况，避免出现增减区间的混淆.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期.而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.3.三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)由sinsin 知，是正弦函数ysin x(xR)的一个周期.
3、()(2)余弦函数ycos x的对称轴是y轴.()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数.()(4)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(5)ysin|x|是偶函数.()解析(1)函数ysin x的周期是2k(kZ).(2)余弦函数ycos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.(3)正切函数ytan x在每一个区间(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(4)当k0时，ymaxk1；当k0，xR)，最小正周期T，则实数_，函数f(x)的图象的对称中心为_.解析由T，2，f(x)2sin，令2sin0，得2xk(kZ)，x(kZ)，对称中心为(k
4、Z).答案2(kZ)考点一三角函数的定义域及三角不等式【例1】 (1)函数f(x)2tan的定义域是()A. B.C. D.(2)不等式2cos x0的解集是_.(3)函数f(x)log2(2sin x1)的定义域是_.解析(1)由正切函数的定义域得2xk(kZ)，即x(kZ)，故选D.(2)由2cos x0，得cos x，由余弦函数的图象，得在一个周期，上，不等式cos x的解集为，故原不等式的解集为. (3)由题意得由得8x8，由得sin x，由正弦曲线得2kx2k(kZ).所以不等式组的解集为.答案(1)D(2)(3)规律方法(1)三角函数定义域的求法以正切函数为例，应用正切函数ytan
5、 x的定义域求函数yAtan(x)的定义域.转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域.(2)简单三角不等式的解法利用三角函数线求解.利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数ytan 2x的定义域是()A. B.C. D.(2)(一题多解)函数y的定义域为_.解析(1)由2xk，kZ，得x，kZ，ytan 2x的定义域为.(2)法一要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0，2上ysin x和ycos x的图象，如图所示.在0，2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.法二利用三角函数线，画出满足条件的
6、终边范围(如图阴影部分所示).所以定义域为.法三sin xcos xsin0，将x视为一个整体，由正弦函数ysin x的图象和性质可知2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ).所以定义域为.答案(1)D(2)考点二三角函数的值域【例2】 (1)函数y2sin x1，x的值域是()A.3，1 B.2，1 C.(3，1 D.(2，1(2)(一题多解)函数f(x)sincos的最大值为()A. B.1 C. D.(3)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_.解析(1)由正弦曲线知ysin x在上，1sin x0)在区间上是增函数，则的取值范围是_.解析(1)由已知可得函数为ysi
7、n，欲求函数的单调减区间，只需求ysin的单调增区间.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函数的单调递减区间为(kZ).(2)法一由2kx2k，kZ，得f(x)的增区间是(kZ).因为f(x)在上是增函数，所以.所以且，所以.法二因为x，0.所以x，又f(x)在区间上是增函数，所以，则又0，得00，得0.答案(1)(kZ)(2)规律方法(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成yAsin(x)形式，再求yAsin(x)的单调区间，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已
8、知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.角度3三角函数的对称轴或对称中心【例33】 (1)已知函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，则的值是_.(2)函数f(x)2cos1的对称轴为_，最小值为_.解析(1)由函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，得sin1，因为，所以0，函数f(x)cos在上单调递增，则的取值范围是()A. B.C. D.(3)(角度3)函数ysin(2x)图象的一个对称中心为，则的值是_.解析(1)法一f(x)cos，则fcos 0，函数f(x)的最小正周期
9、T.法二注意三角恒等变换中“正弦的平方差公式”sin()sin()sin2sin2，则f(x)sin2sin2sinsin cos，则fcos 0，函数f(x)的最小正周期T.(2)函数ycos x的单调递增区间为2k，2k，kZ，则(kZ)，解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k1，所以.(3)因为函数ysin(2x)图象的一个对称中心为，所以sin0，又因为，则0)两个相邻的极值点，则()A.2 B. C.1 D.解析由题意及函数ysin x的图象和性质可知，T，T，2.故选A.答案A2.函数f(x)tan的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ
10、)解析当k2xk(kZ)时，函数ytan单调递增，解得x(kZ)，所以函数ytan的单调递增区间是(kZ)，故选B.答案B3.函数ycos2x2sin x的最大值与最小值分别为()A.3，1 B.3，2C.2，1 D.2，2解析ycos2x2sin x1sin2x2sin xsin2x2sin x1，令tsin x，则t1，1，yt22t1(t1)22，所以ymax2，ymin2.答案D4.设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为2 B.yf(x)的图象关于直线x对称C.f(x)的一个零点为x D.f(x)在单调递减解析函数f(x)cos的图象可由ycos x的图象
11、向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误.答案D5.(2020嘉、丽、衢模拟)已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在区间上单调，则的最大值是()A.12 B.11 C.10 D.9解析由x为函数f(x)sin(x)的零点，x为函数f(x)sin(x)的图象的对称轴得k1，k2(k1，k2Z)，则2(k2k1)1(k1，k2Z)，又因为函数f(x)sin(x)在上单调，所以，即12，结合得的最大值为11，故选B.答案B6.已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为4，且任意xR，有f(x)f成立，则f(x)图象的一个对
12、称中心坐标是()A. B.C. D.解析由f(x)sin(x)的最小正周期为4，得.因为f(x)f恒成立，所以f(x)maxf，即2k(kZ)，由|，得，故f(x)sin.令xk(kZ)，得x2k(kZ)，故f(x)图象的对称中心为(kZ)，当k0时，f(x)图象的对称中心为，故选A.答案A二、填空题7.若函数f(x)cos(0)是奇函数，则_；f(x)取最大值时，x的取值集合为_.解析因为f(x)为奇函数，所以k，kZ，k，kZ.又因为00，x0，2，所以0200，ysin x在0，2上单调递增，说明该函数至少T的图象在0，2上，则其周期至少为8，即8，即，故00)在区间上的最小值是2，则的最小值为()A. B. C.2 D.3解析0，x，x.由已知条件知，.答案B14.设x1，x2，x3，x4，则()A.在这四个数中至少存在两个数x，y，满足sin(xy)B.在这四个数中至少存在两个数x，y，满足cos(xy)C.在这四个数中至多存在两个数x，y，满足tan(xy)0时，a33，b5.当a0时，a33，b8.综上所述，a33，b5或a33，b8.
