1、315 空间向量运算的坐标表示预习课本 P9597，思考并完成以下问题1类比平面向量，在空间向量中，ab，ab 的充要条件分别是什么？2空间直角坐标系中，点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|如何表示？新知初探1空间向量的加减和数乘运算的坐标表示设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(1)ab；(2)ab；(3)a(R)；(4)若 b0，则 abab(R)，.(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1 a2b2a3b32空间向量数量积的坐标表示及夹角公式若 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(
2、1)ab；(2)|a|aa_；(3)cosa，b ab|a|b|a1b1a2b2a3b3a21a22a23b21b22b23；(4)ab.3空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)(1)AB；(2)dAB|AB|_.a1b1a2b2a3b3a21a22a23a1b1a2b2a3b30(a2a1，b2b1，c2c1)a2a12b2b12c2c12小试身手1已知向量 a(4，2，4)，b(6，3,2)，则下列结论正确的是()Aab(10，5，6)Bab(2，1，6)Cab10D|a|6答案：D2与向量 m(0,1，2)共线的向量是()
3、A(2,0，4)B(3,6，12)C(1,1，2)D0，12，1答案：D3已知 a(2,1,3)，b(4,5，x)，若 ab，则 x_.答案：1空间向量的坐标运算典例 已知 O 为坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别是(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)求点 P 的坐标，使：(1)OP12(AB AC)；(2)AP12(ABAC)解 AB(2,6，3)，AC(4,3,1)，ABAC(6,3，4)(1)OP12(6,3，4)3，32，2，则点 P 的坐标为3，32，2.(2)设点 P 的坐标为(x，y，z)，则AP(x2，y1，z2)，12(ABAC)AP3，32，2，x5，y12，z
4、0，则点 P 的坐标为5，12，0.(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用活学活用已知空间四点 A，B，C，D 的坐标分别是(1,2,1)，(1,3,4)，(0，1,4)，(2，1，2)，设 pAB，qCD.求：(1)p2q；(2)3pq；(3)(pq)(pq)解：因为 A(1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，1,4)，D(2，1，2)，所以 pAB(
5、2,1,3)，qCD(2,0，6)(1)p2q(2,1,3)2(2,0，6)(2,1,3)(4,0，12)(6,1，9)(2)3pq3(2,1,3)(2,0，6)(6,3,9)(2,0，6)(4,3,15)(3)(pq)(pq)p2q2|p|2|q|2(221232)(220262)26.典例 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3 B P1 PD1，若PQAE，BDDQ，求的值空间向量的平行与垂直解 如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)
6、，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，因为3 B P1PD1，所以3(a1，a1,0)(a，a,0)，所以3a3a，解得a34，所以点P的坐标为34，34，1.由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，因为PQAE，所以PQAE0，所以b34，b34，1 1，0，12 0，即b34 120，解得b14，所以点Q的坐标为14，14，0，因为BDDQ，所以(1，1,0)14，14，0，所以41，故4.一题多变1变条件若本例中的PQAE改为B1QEQ，其它条件不变，结果如何？解：以D为原点，DA，DC，DD1 的方向分别为x轴
7、，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点Q的坐标为(c，c,0)，因为B1QEQ，所以B Q1EQ0，所以(c1，c1，1)c，c，12 0，即c(c1)c(c1)120,4c24c10，解得c12，所以点Q的坐标为12，12，0，所以点Q是线段BD的中点，所以BD2 DQ，故2.2变条件，变设问本例中若G是A1D的中点，点H在平面xOy上，且GHBD1，试判断点H的位置解：以D为原点，DA，DC，DD1 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为12，0，12，因为点H在平面xOy上，设点H的坐标为(
8、m，n,0)，因为GH(m，n,0)12，0，12 m12，n，12，BD1(0,0,1)(1,1,0)(1，1,1)，且GHBD1，所以m121 n1121，解得m1，n12.所以点H的坐标为1，12，0，所以H为线段AB的中点解决空间向量垂直、平行问题的有关思路(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标例如，设向量a(x，y，z)(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数例如，已知ab，则引入参数，有ab，再转化为方程组求解(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的利用坐标运算解决夹角、距离问题典例 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，CACB1，BC
9、A90，棱AA12，N为A1A的中点(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值解 如图，以CA，CB，CC1 为单位正交基底建立空间直角坐标系C-xyz.(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，|BN|102012102 3，线段BN的长为 3.(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，BA1(1，1,2)，CB1(0,1,2)，BA1 CB110(1)1223.又|BA1|6，|CB1|5，cosBA1，CB1BA1 CB1|BA1|CB1|3010.故A1B与B1C所成角的余弦值为 3010.在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用
10、几何体本身的特点，以使各点的坐标易求利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单 活学活用在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG14CD，H为C1G的中点(1)求证：EFB1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求FH的长解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系 D-xyz，D 为坐标原点，则有 E0，0，12，F12，12，0，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G0，34，0，H0，78，12.EF12，12，0 0，0，1212，12，12，B C1(0,1,0)(1,1,1)(1,0，1)EFB C112(1)12012(1)0，EFB C1，即 EFB1C.(2)C G10，34，0(0,1,1)0，14，1.|C G1|174.又EF C G11201214 12(1)38，|EF|32，cosEF，C G1EFC G1|EF|C G1|5117.即异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 5117.(3)F12，12，0，H0，78，12，FH12，38，12，|FH|122382122 418.“多练提能熟生巧”见“课时跟踪检测(十八)”(单击进入电子文档)
