1、专题过关检测六解析几何一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021浙江杭州二中月考)已知双曲线的实轴长为10,焦点到一条渐近线的距离为4,则它的离心率为()A.35B.53C.415D.542.(2021浙江宁波三模)“点(a,b)在圆x2+y2=1外”是“直线ax+by+2=0与圆x2+y2=1相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2021陕西宝鸡三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆x2+y2-10y=0截得的线段长等于8,则双曲线
2、C的离心率为()A.153B.54C.3D.534.(2021黑龙江哈师大附中月考)椭圆x24p2+y2p2=1(p0)的焦点是双曲线x2p-y22p=1的焦点,则p=()A.4B.3C.2D.15.(2021宁夏银川二模)已知抛物线y2=8x的焦点为F,经过点P(1,1)的直线l与该曲线交于A,B两点,且点P恰好为AB的中点,则|AF|+|BF|=()A.4B.6C.8D.126.(2021广东茂名二模)已知点P是双曲线C:x24-y25=1右支上一点,F1,F2为双曲线C的左、右焦点.若PF1F2的周长为16,点O为坐标原点,则POF1F2=()A.20B.-20C.40D.-407.(2
3、021四川成都石室中学一模)已知圆C1:(x+2)2+y2=1,C2:(x-2)2+y2=49,动圆C满足与C1外切且与C2内切,若M为C1上的动点,且CMC1M=0,则|CM|的最小值为()A.2B.3C.2D.58.(2021北京石景山一模)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切.则圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为()A.22B.32C.42D.6二、选
4、择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021湖南师大附中月考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于两点P(x1,y1),Q(x2,y2),点P在l上的射影为P1,则()A.|PQ|的最小值为4B.已知曲线C上的两点S,T到点F的距离之和为10,则线段ST的中点的横坐标是4C.设M(0,1),则|PM|+|PP1|2D.过M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条10.(2021山东滨州一模)已知椭圆M:x225+y220=1的左、右焦点分别是
5、F1,F2,左、右顶点分别是A1,A2,点P是椭圆上异于A1,A2的任意一点,则下列说法正确的是()A.|PF1|+|PF2|=5B.直线PA1与直线PA2的斜率之积为-45C.存在点P满足F1PF2=90D.若F1PF2的面积为45,则点P的横坐标为511.(2021新高考,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则()A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当PBA最小时,|PB|=32D.当PBA最大时,|PB|=3212.(2021辽宁部分重点中学协作体联考)若双曲线C:x24-y25=1,F1,F2分别为左、右焦点
6、,设点P在双曲线上且是第一象限内的动点,点I为PF1F2的内心,点G为PF1F2的重心,则下列说法正确的是()A.双曲线C的离心率为32B.点I的运动轨迹为双曲线的一部分C.若|PF1|=2|PF2|,PI=xPF1+yPF2,则y-x=29D.存在点P,使得IGF1F2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021全国乙,文14)双曲线x24-y25=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.14.(2021江苏连云港模拟)圆锥曲线有丰富的光学性质,从椭圆焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过另一个焦点;从抛物线焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行于抛
7、物线的对称轴.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点(3,1).由点P(2,1)发出的平行于x轴的光线经过抛物线C1:y2=16x反射到椭圆C上后,反射光线经点(-4,0),则椭圆C的方程为.15.(2021北京八一中学期末)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地,他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k0,且k1)的点的轨迹是圆,后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0),A,B为椭圆长轴的端点,C,D为椭圆短轴的端点,动点M满足|MA|MB|=2,MAB的面积的
8、最大值为8,MCD的面积的最小值为1,则椭圆的离心率为.16.(2021山东青岛一模)2021年是中国传统的“牛”年,可以在平面直角坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象.已知抛物线Z:x2=4y的焦点为F,圆F:x2+(y-1)2=4与抛物线Z在第一象限的交点为Pm,m24,直线l:x=t(0tb0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为32,过点F2且斜率不为0的直线与椭圆交于A,B两点,F1AF2的周长为4+23.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,求|OA+OB|的取值范围.19.(12分)(2021江苏泰州模拟)已知椭圆P:x24+y2=1的右顶点为A,点M(x0,y0)是椭圆P
9、上异于A的一点,MNx轴于点N,B是MN的中点,过动点M(x0,y0)的直线l:x0x+4y0y=4与直线AB交于点C.(1)当x0=65时,求证:直线l与椭圆P只有一个公共点;(2)求证:点C在定直线上运动.20.(12分)(2021安徽马鞍山二模(理)已知双曲线x2-y2b2=1(b1)的左焦点为F,右顶点为A,过点F向双曲线的一条渐近线作垂线,垂足为P,直线AP与双曲线的左支交于点B.(1)设O为坐标原点,求线段OP的长度;(2)求证:PF平分BFA.21.(12分)(2021全国乙,理21)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小
10、值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求PAB面积的最大值.22.(12分)(2021湖南衡阳八中月考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的左、右焦点分别为F1,F2,其离心率为62,且过点P(42,22).(1)求双曲线C的方程;(2)过F1的两条相互垂直的直线分别交双曲线于A,B和C,D,M,N分别为AB,CD的中点,连接MN,过坐标原点O作MN的垂线,垂足为H,是否存在定点G,使得|GH|为定值?若存在,求此定点G;若不存在,请说明理由.专题过关检测六解析几何1.C解析 不妨设焦点F(c,0)到渐近线y=bax的距离为4,得d=|bc|b2+a
11、2=b=4,又因为2a=10,解得a=5,所以c=52+42=41.所以e=ca=415.2.B解析 命题p:点(a,b)在圆x2+y2=1外等价于a2+b21,命题q:直线ax+by+2=0与圆x2+y2=1相交等价于2a2+b24,从而有pq,qp,所以p是q的必要不充分条件.3.D解析 双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax,即aybx=0.圆的方程x2+y2-10y=0可化为x2+(y-5)2=25,则圆心为(0,5),半径为5,圆心到渐近线的距离为d=|5a|a2+b2,由弦长公式可得8=225-25a2a2+b2,化简可得b2=169a2,c2=a2+b
12、2=259a2,则e=ca=53.4.D解析 椭圆x24p2+y2p2=1(p0)中,a2=4p2,b2=p2,所以c2=3p2.在双曲线x2p-y22p=1中,a2=p,b2=2p,所以c2=3p,所以c2=3p2=3p,解得p=1.5.B解析 抛物线y2=8x中,p=4,其焦点F(2,0),准线方程x=-2,过点A,B,P作准线的垂线,垂足分别为M,N,R(图略).由抛物线定义可知,|AF|+|BF|=|AM|+|BN|.而P恰好为AB的中点,故PR是梯形ABNM的中位线,故|AM|+|BN|=2|PR|,又P(1,1),故|PR|=1+p2=3,所以|AF|+|BF|=23=6.6.B解
13、析 因为|F1F2|=2c=6,PF1F2的周长为16,所以|PF1|+|PF2|=10.因为|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|PF1|=7,|PF2|=3,所以POF1F2=12(PF1+PF2)(PF2-PF1)=12(PF22-PF12)=12(32-72)=-20.7.B解析 易知圆C1的圆心C1(-2,0),圆C1的半径为r1=1.圆C2的圆心C2(2,0),半径为r2=7.|C1C2|=4|C1C2|=4,故圆心C的轨迹为椭圆,且该椭圆的焦点为C1,C2.设该椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),焦距为2c(c0),则2a=8,可得a=4;由2c=4,可得c=2;b=
14、a2-c2=23,所以点C的轨迹方程为x216+y212=1.由CMC1M=0,得CMC1M,且|C1M|=1,由椭圆的几何性质可得|CC1|min=a-c=2,故|CM|min=|CC1|min2-|C1M|2=3.8.A解析 因为在ABC中,AB=AC=4,所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一,则其“欧拉线”为ABC边BC的垂直平分线AD.因为点B(-1,3),点C(4,-2),所以D32,12.因为直线BC的斜率为3+2-1-4=-1,所以BC的垂直平分线的斜率为1.所以BC的垂直平分线方程为y-12=x-32,即x-y-1=0.因为“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=
15、r2相切,所以圆心(a,a-3)到“欧拉线”的距离为|a-a+3-1|2=r,可得r=2.因为圆心(a,a-3)到直线x-y+3=0的距离为|a-a+3+3|2=32,所以圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为32-2=22.9.ABC解析 由题意知,p2=1,抛物线的焦点F(1,0),准线方程为x=-1.对于A,当PQx轴时,|PQ|取得最小值,最小值为2p=4,所以A正确;对于B,曲线C上的两点S,T到点F的距离之和为10,所以点S,T的横坐标之和为10-2=8,则线段ST的中点横坐标为4,所以B正确;对于C,设M(0,1),则|PM|+|PP1|=|PM|+|PF|FM|=2,当
16、且仅当M,P,F三点共线时取等号,所以C正确;对于D,当直线过点M(0,1)且与x轴平行时,直线与抛物线有且只有一个公共点.过点M(0,1)且与抛物线相切的直线有两条,此时直线与抛物线有且只有一个公共点,所以过点M(0,1)与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条,所以D错误.10.BD解析 由题意得a=5,b=25,c=5,F1(-5,0),F2(5,0),A1(-5,0),A2(5,0),短轴一个顶点B2(0,25),|PF1|+|PF2|=2a=10,A错误;设P(x,y),则x225+y220=1,y2=201-x225,kPA1kPA2=yx+5yx-5=y2x2-25=201-x22
17、51x2-25=-45,B正确;因为tanOB2F2=|OF2|OB2|=525=121,所以0OB2F245,从而F1B2F2=2OB2F290,而P是椭圆上任一点,当P是短轴端点时F1PF2最大,因此不存在点P满足F1PF2=90,C错误;SPF1F2=12|F1F2|yP|=5|yP|=45,|yP|=4,则xP225+1620=1,xP=5,D正确.11.ACD解析 如图,记圆心为M,半径为r,则M(5,5),r=4.由条件得,直线AB的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M作MN垂直于直线AB,垂足为N,直线MN与圆M分别交于点P1,P2,圆心M(5,5)到直线AB的距
18、离|MN|=|5+25-4|12+22=115,于是点P到直线AB的距离最小值为|P2N|=|MN|-r=115-4,最大值为|P1N|=|MN|+r=115+4.又115-42,115+40,y00),则Gx03,y03.设PF1F2的内切圆半径为r,则SPF1F2=12|F1F2|y0=12(m+n+2c)r,于是cy0=12(m+n+2c)r,可得r=2cy0m+n+2c.若IGF1F2,可得2cy0m+n+2c=y03,即m+n=4c=12.又由m-n=2a=4,联立可得n=4,因此(x0-3)2+y02=16,5x02-4y02=20,解得x0=4,y0=15,即存在点P(4,15)
19、,使得IGF1F2,所以D正确.13.5解析 由双曲线方程可得c=4+5=3,即双曲线的右焦点为F(3,0).则点F到直线x+2y-8=0的距离d=|3+20-8|12+22=5.14.x218+y22=1解析 由题设知,抛物线C1:y2=16x的焦点为(4,0),由点P(2,1)发出的平行于x轴的光线经过抛物线C1反射后必过点(4,0),再经过椭圆C反射经过(-4,0),可知(4,0),(-4,0)为椭圆C的两个焦点,故c=4,而(3,1)在椭圆C上,由9a2+1b2=1,a2-b2=16,可得a2=18,b2=2,即椭圆C的方程为x218+y22=1.15.32解析 设点M(x,y),设点
20、A(-a,0),B(a,0),由|MA|MB|=2可得|MA|=2|MB|,即(x+a)2+y2=2(x-a)2+y2.整理可得x2+y2-10a3x+a2=0,即x-5a32+y2=169a2,所以,点M的轨迹是以点5a3,0为圆心,以43a为半径的圆.点M到x轴的距离的最大值为43a,则MAB的面积的最大值为122a43a=4a23=8,解得a=6.点M到y轴距离的最小值为5a3-4a3=a3,则MCD的面积的最小值为122ba3=1,可得b=62.c=a2-b2=322,因此,椭圆的离心率为e=ca=32.16.2(4,6)解析 如图所示.由x2=4y,x2+(y-1)2=4,x0,y0
21、,解得x=2,y=1,故m=2.由x=t,x2=4y,解得x=t,y=t24,所以At,t24.由x=t,x2+(y-1)2=4,x0,y0,解得x=t,y=1+4-t2,所以B(t,1+4-t2).由抛物线的定义,知AF=AC,FAB的周长=FA+FB+AB=AC+AB+BF=BC+2=4-t2+4.因为t(0,2),所以4-t2+4(4,6).17.解 (1)设点P(x,y),根据题意得x-162+y2=x+16,化简得动点P的轨迹方程为y2=23x.(2)M(3,2),(x-2)2+y2=1,x=3即圆的一条切线,A(3,-2).设过M的另一条切线斜率为k,k0,则切线方程为y-2=k(
22、x-3),又设B(x1,y1).由方程组y-2=k(x-3),y2=23x,得y2-23ky+223k-2=0,2+y1=23k,y1=23k-2.直线为y-2=k(x-3),其与圆相切,|2k-0-3k+2|k2+1=1,k=24.y1=23.B满足y2=23x,B13,23.AB=-83,423,|AB|=|AB|=463.18.解 (1)由题意得2a+2c=4+23,ca=32,解得a=2,c=3,故b2=4-3=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)因为F2(3,0),所以设直线AB的方程为x=my+3,A(x1,y1),B(x2,y2).由x24+y2=1,x=my+3,消去
23、x得(m2+4)y2+23my-1=0,所以y1+y2=-23mm2+4,y1y2=-1m2+4.又OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=(my1+my2+23,y1+y2),所以|OA+OB|=(my1+my2+23)2+(y1+y2)2=83m2+42+-23mm2+42=23m2+48(m2+4)2.令t=1m2+40,14,所以3m2+48(m2+4)2=3(m2+4)+36(m2+4)2=3t+361t2=36t2+3t.因为二次函数y=36t2+3t在t0,14上单调递增,所以y=36t2+3t(0,3,因此|OA+OB|=23m2+48(m2+4)2(0,23(当m=0时取得最
24、大值),所以|OA+OB|(0,23.19.证明 (1)不妨设y00,当x0=65时,由x024+y02=1得y0=45,所以直线l的方程为65x+445y=4,即y=-38x+54.由y=-38x+54,x24+y2=1,解得x=65,y=45,故直线l与椭圆P的交点坐标为65,45,所以直线l与椭圆P只有一个公共点.(2)因为M(x0,y0)(不妨取y00),MNx轴,B是MN的中点,所以Bx0,y02.因为y00,所以x02,所以直线AB的方程为y=y02x0-2(x-2),即y=y02(x0-2)(x-2),联立x0x+4y0y=4,y=y02(x0-2)(x-2),得(x02+2y0
25、2-2x0)x=4x0-8+4y02.又因为x024+y02=1,所以y02=1-x024,因此x02+21-x024-2x0x=4x0-8+41-x024,即12(x0-2)2x=-(x0-2)2,所以x=-2,所以点C在定直线x=-2上运动.20.(1)解 不妨设B在第二象限,则渐近线OP的方程为y=-bx,则直线PF的方程为y=1b(x+c).由y=1b(x+c),y=-bx,得xP=-cb2+1=-1c,yP=bc,故P-1c,bc.故|OP|=-1c2+bc2=1+b2c2=c2c2=1.(2)证明 设直线PF的倾斜角为,则tan=1b,tan2=2tan1-tan2=2bb2-1.
26、又A(1,0),故直线AP的斜率为bc-1c-1=-bc+1,则直线AP的方程为y=-bc+1(x-1).由y=-bc+1(x-1),x2-y2b2=1,得(c2+2c)x2+2x-(c2+2c+2)=0,xB=xAxB=-c2+2c+2c2+2c,yB=-bc+1(xB-1)=2b(c+1)c2+2c.又F(-c,0),故直线BF的斜率为yBxB+c=2b(c+1)c2+2c-c2+2c+2c2+2c+c=2b(c+1)c3+c2-2c-2=2bc2-2=2bb2-1=tan2,故PF平分BFA.21.解 (1)抛物线C的焦点为F0,p2,|FM|=p2+4,所以,F与圆M:x2+(y+4)
27、2=1上点的距离的最小值为p2+4-1=4,解得p=2.(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x24,对该函数求导得y=x2.设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),直线PA的方程为y-y1=x12(x-x1),即y=x1x2-y1,即x1x-2y1-2y=0.同理可知,直线PB的方程为x2x-2y2-2y=0.由于点P为这两条直线的公共点,则x1x0-2y1-2y0=0,x2x0-2y2-2y0=0,所以,点A,B的坐标满足方程x0x-2y-2y0=0,所以,直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.联立x0x-2y-2y0=0,y=x24,可得x2-2x0x+4y0=0
28、.由韦达定理可得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,所以|AB|=1+x022(x1+x2)2-4x1x2=1+x0224x02-16y0=(x02+4)(x02-4y0).点P到直线AB的距离为d=|x02-4y0|x02+4,所以,SPAB=12|AB|d=12(x02+4)(x02-4y0)|x02-4y0|x02+4=12(x02-4y0)32.因为x02-4y0=1-(y0+4)2-4y0=-y02-12y0-15=-(y0+6)2+21,由已知可得-5y0-3,所以,当y0=-5时,PAB的面积取最大值122032=205.22.解 (1)由题可知e=ca=62,32a2-8b2
29、=1,c2=a2+b2a2=16,b2=8,c2=24,双曲线C的方程是x216-y28=1.(2)存在定点G(-26,0),使得|GH|为定值,理由如下:由题意可知,若直线AB和CD其中一条没有斜率,则H点为(0,0),直线MN的方程为y=0,当直线AB和CD都有斜率时,因为点F1(-26,0),设直线AB的方程为y=k(x+26),设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),联立方程组y=k(x+26),x216-y28=1,得(1-2k2)x2-86k2x-16(3k2+1)=0,所以xA+xB=86k21-2k2,xAxB=-16(3k2+1)1-2k2,故xM=46k21
30、-2k2,yM=k46k21-2k2+26.设直线CD的方程为y=-1k(x+26),设C(xC,yC),D(xD,yD),N(xN,yN),同理可得xC+xD=86k2-2,xCxD=-16(3+k2)k2-2,故xN=46k2-2,yN=-1k46k2-2+26,所以kMN=yM-yNxM-xN=k46k21-2k2+26+1k46k2-2+2646k21-2k2-46k2-2=-k2(k2-1).由y-yM=kMN(x-xM),得直线MN的方程为y-k46k21-2k2+26=-k2(k2-1)x-46k21-2k2,化简得y=-k(k2-1)12x+26,可知直线MN过定点P(-46,0).又因为OHMN,所以点H的运动轨迹是以点(-26,0)为圆心,以|OP|=26为直径的圆,所以存在定点G(-26,0),使得|GH|为定值26.
