1、第2讲两直线的位置关系, )1两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1k2k1与k2都不存在垂直k1k21k1与k2一个为零、另一个不存在2两条直线的交点3三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|点线距点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d线线距两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d1辨明三个易误点(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，若直线无斜率，要单独考虑(2)求点到直线的距离时，若给出
2、的直线不是一般式，则应化为一般式(3)在运用两平行直线间的距离公式d时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式2与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线AxByC0(A2B20)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：BxAym0(mR)；(2)平行：AxByn0(nR，且nC)1. 已知A(2，3)，B(4，0)，P(3，1)，Q(m，m1)，若直线ABPQ，则m的值为()A1B0C1 D2C 因为ABPQ，所以kABkPQ，即，解得m1，故选C.2. 已知A(5，1)，B(m，m)，C(2，3)，若ABC为直角三角形且AC边最长，则整数m的值为()A4 B3C2 D1D 由题意得B
3、90，即ABBC，kABkBC1，所以1.解得m1或m，故整数m的值为1，故选D.3直线2xy10，yx1，yax2交于一点，则实数a的值为_ 4. 两平行直线x2y10与x2ym0的距离为，则m_ 由平行线间的距离公式得，即|m1|5，所以m4或m6. 4或65. 已知三点O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，则OAB的面积为_ 因为|AB|2.AB所在的直线方程为，即xy40.所以O到AB的距离d2.所以SOAB|AB|d224. 4两条直线平行与垂直(1)(2017邢台摸底考试)“a1”是“直线ax3y30和直线x(a2)y10平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D
4、既不充分也不必要条件(2)经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程为_【解析】(1)依题意，注意到直线ax3y30和直线x(a2)y10平行的充要条件是解得a1，故选C.(2)法一：由方程组得即P(0，2)因为ll3，所以直线l的斜率k，所以直线l的方程为y2x，即4x3y60.法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.因为l与l3垂直，所以3(1)(4)(2)0，所以11，所以直线l的方程为12x9y180，即4x3y60.【答案】(1)C(2)4x3y60将本例(2)
5、中条件“与直线l3：3x4y50垂直”改为“与直线l3：3x4y50平行”，求此时直线l的方程 法一：由方程组得即P(0，2)因为ll3，所以直线l的斜率k，所以直线l的方程为y2x，即3x4y80.法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.因为l与l3平行，所以3(2)(4)(1)0，且(4)(42)5(2)，所以，所以直线l的方程为3x4y80.两直线平行或垂直的判定方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；两直线垂直两直线的斜率之积为1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存
6、在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合(3)已知两直线的一般方程设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10，l1l2A1A2B1B20.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论 已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且直线l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等 (1)因为l1l2，所以a(a1)b0.又因为直线l1过点(3，1)，所以3ab40.故a2，b2.(2)因为直线l2的斜率存在，l1l2，所以直线l1的斜率存在所以1
7、a.又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.联立可得a2，b2或a，b2.距离公式(高频考点)距离公式包括两点间的距离公式、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式在高考中经常出现，多为容易题或中档题高考中对距离公式的考查主要有以下三个命题角度：(1)求距离；(2)已知距离求参数值；(3)已知距离求点的坐标(1)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()ABC D(2)已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为_【解析
8、】(1)因为，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.(2)设点P的坐标为(a，b)因为A(4，3)，B(2，1)，所以线段AB的中点M的坐标为(3，2)而AB的斜率kAB1，所以线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.因为点P(a，b)在直线xy50上，所以ab50.又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，所以2，即4a3b210，由联立可得或所以所求点P的坐标为(1，4)或.【答案】(1)C(2)(1，4)或 角度一求距离1(2017洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：axy10与过定点Q的直线m：xay3
9、0相交于点M，则|MP|2|MQ|2的值为()A BC5 D10D 由题意知P(0，1)，Q(3，0)，因为过定点P的直线axy10与过定点Q的直线xay30垂直，所以M位于以PQ为直径的圆上，因为|PQ|，所以|MP|2|MQ|2|PQ|210，故选D. 角度二已知距离求参数值2若直线l1：x2ym0(m0)与直线l2：xny30之间的距离是，则mn()A0 B1C1 D2A 因为直线l1：x2ym0(m0)与直线l2：xny30之间的距离为，所以所以n2，m2(负值舍去)所以mn0. 角度三已知距离求点的坐标3已知定点A(1，0)，点B在直线xy0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是()
10、A BC DA 因为定点A(1，0)，点B在直线xy0上运动，所以当线段AB最短时，直线AB和直线xy0垂直，AB的方程为yx10，它与xy0联立解得x，y，所以B的坐标是.对称问题已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程【解】(1)设A(x，y)，由已知解得所以A.(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M必在直线m上设M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4，3)又因为m经过点N(4，3)，
11、所以由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，因为P在直线l上，所以2(2x)3(4y)10，即2x3y90. 1直线x2y30与直线ax4yb0关于点A(1，0)对称，则b_ 法一：由题知，点A不在直线x2y30上，所以两直线平行，所以，所以a2.又点A到两直线距离相等，所以，所以|b2|4，所以b6或b2.因为点A不在直线x2y30上，所以两直线不能重合，所以b2.法二：在直线x2y30上取两点P1(1，1)、P2(3，0)，则P1、P2关于点A的对称点P1、P2都在直线ax4yb0上因为易知
12、P1(1，1)、P2(1，0)，所以所以b2. 22已知入射光线经过点M(3，4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_ 设点M(3，4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为，即6xy60. 6xy60, )忽视直线斜率的不存在性致误已知直线l过点A(1，2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程【解】当直线l过点A(1，2)且斜率不存在时，直线l的方程为x1，原点到直线l的距离为1，满足题意当直线l过点A(1，2)且斜率存在时，由题意设直线l
13、的方程为y2k(x1)，即kxyk20.因为原点到直线l的距离为1，所以1，解得k.所以所求直线l的方程为y2(x1)，即3x4y50.综上所述，所求直线l的方程为x1或3x4y50.(1)解决本题易忽视直线的斜率不存在的情况，从而只求得一条直线(2)在解决与直线方程或直线位置关系有关问题时，若题目中没有明确直线的斜率是否存在，要注意对斜率的存在性进行分类讨论已知经过点A(2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为_ l1的斜率k1a.当a0时，l2的斜率k2.因为l1l2，所以k1k21，即a1，解得a1.当a0时，P(0，1
14、)，Q(0，0)，这时直线l2为y轴，A(2，0)，B(1，0)，直线l1为x轴，显然l1l2.综上可知，实数a的值为1或0. 1或0, )1若直线l1：mxy20与直线l2：(2m)xy10互相平行，则实数m的值为()A1B0C1 D2C 因为直线l1：mxy20与直线l2：(2m)xy10互相平行，所以解得m1.故选C.2已知直线l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，若l1l2，则a()A2或 B或1C D1B 因为直线l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，l1l2，所以2a(a1)(a1)(a1)0，解得a或a1.故选B.3当0k时，直线l1：kx
15、yk1与直线l2：kyx2k的交点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限B 由得又因为0k，所以x0，故直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在第二象限4(2017石家庄模拟)已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为()Axy10 Bxy0Cxy10 Dxy0A 由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ1，所以直线l的斜率k1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y3x2，即xy10.5已知点A(3，2)和B(1，4)到直线mxy30的距离相等，则m的值为()A6或 B或1C或 D0或A ，即|3m5|7m|，解得m6或
16、.6若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：xy50，l2：xy150上移动，则线段P1P2的中点P到原点的距离的最小值是()A B5C D15B 由题意得，线段P1P2的中点P的轨迹方程是xy100，因为原点到直线xy100的距离为d5，所以线段P1P2的中点P到原点的距离的最小值为5.7已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2xy0和xay0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为_ 依题意，a2，P(0，5)，设A(x，2x)，B(2y，y)，故则 A(4，8)，B(4，2)，所以|AB|10. 108已知直线l1：y2x3，直线l2与l1关于直线yx对称，则直线l
17、2的斜率为_ 因为l1，l2关于直线yx对称，所以l2的方程为x2y3，即yx，即直线l2的斜率为. 9已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是_ 当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大因为A(1，1)，B(0，1)，所以kAB2，所以两平行直线的斜率为k，所以直线l1的方程是y1(x1)，即x2y30. x2y3010. 如图，已知A(2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的
18、斜率的取值范围为_ 从特殊位置考虑如图，因为点A(2，0)关于直线BC：xy2的对称点为A1(2，4)，所以kA1F4.又点E(1，0)关于直线AC：yx2的对称点为E1(2，1)，点E1(2，1)关于直线BC：xy2的对称点为E2(1，4)，此时直线E2F的斜率不存在，所以kFDkA1F，即kFD(4，) (4，)11正方形的中心为点C(1，0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程 点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x
19、3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.12(2017洛阳统考)已知点P(x0，y0)是直线l：AxByC0外一点，则方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A过点P且与l垂直的直线B过点P且与l平行的直线C不过点P且与l垂直的直线D不过点P且与l平行的直线D 因为点P(x0，y0)不在直线AxByC0上，所以Ax0By0C0，所以直线AxByC(Ax0By0C)0不经过点P，排除A、B；又直线AxByC(Ax0By0C)0与直线l：AxByC0平行，排除
20、C，故选D.13已知点P(2，1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由 (1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直
21、线，如图由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线14A，B两个工厂距一条河分别为400 m和100 m，A，B两工厂之间距离500 m，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A，B两工厂用水，要使供水站到A，B两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？ 如图，以小河所在直线为x轴，过点A的垂线为y轴，建立直角坐标系，则点A(0，400)，点B(a，100)过点B作BCAO于点C.在ABC中，AB500，AC400100300，由勾股定理得BC400，所以B(400，100)点A(0，400)关于x轴的对称点A(0，400)，由两点式得直线AB的方程为yx400.令y0，得x320，即点P(320，0)故供水站(点P)在距O点320 m处时，到A，B两厂铺设的水管长度之和最短
