1、第3讲合情推理与演绎推理)1推理(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程(2)分类：推理2合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理3.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理(3)模式：三段论1辨明两个易误点(1)演绎推理是由一般到特殊的
2、证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据2把握合情推理与演绎推理的三个特点(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的1数列2，5，11，20，x，47，中的x等于()
3、A28B32C33 D27B 由523，1156，20119，则x2012，因此x32.2推理“矩形是平行四边形，三角形不是平行四边形，三角形不是矩形”中的小前提是()ABC D和B 由演绎推理三段论可知，是大前提，是小前提，是结论3. 已知数列an中，a11，n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()Aan3n1Ban4n3Cann2 Dan3n1C 由a11，anan12n1，则a2a12214；a3a22319；a4a324116；所以ann2.4在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为
4、12，则它们的体积比为_ . 18归纳推理(高频考点)归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度稍大，属中高档题高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度：(1)与数字(数列)有关的等式的推理；(2)与不等式(式子)有关的推理；(3)与图形变化有关的推理(1)(2016高考山东卷)观察下列等式：12；23；34；45；照此规律，_(2)(2017青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120，依此规律得到n级分形图n级分形图中
5、共有_条线段【解析】(1)根据已知，归纳可得结果为n(n1)(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3323条线段，二级分形图有93223条线段，三级分形图中有213233条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an32n3(nN*)【答案】(1)n(n1)(2)32n3(nN*)归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律(2)与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律(3)与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论 角度一与数字(数列)有关的等式的推理1有一个奇数组
6、成的数阵排列如下：1 3 7 13215 9 1523111725192729则第30行从左到右第3个数是_ 观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是146810601929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是92960621 051. 1 051 角度二与不等式(式子)有关的推理2(2017山东省滕州第二中学模拟)在ABC中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立，依此类推，在凸n边形A1A2An
7、中，不等式_成立 因为，所以(nN*，n3) (nN*，n3) 角度三与图形变化有关的推理3我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形则f(n)的表达式为()Af(n)2n1Bf(n)2n2Cf(n)2n22n Df(n)2n22n1D 我们考虑f(2)f(1)4，f(3)f(2)8，f(4)f(3)12，结合图形不难得到f(n)f(n1)4(n1)，累加得f(n)f(1)2n(n1)2n22n，故f(n)2n22n1
8、.类比推理如图，在RtABC中，C90，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想【解】如题图所示，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类似地，在四面体PDEF中，PDFPDEEDF90.设S1，S2，S3和S分别表示PDF，PDE，EDF和PEF的面积，相应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2SSS成立 若本例条件“由勾股定理，得c2a2b2”换成“cos2
9、 Acos2 B1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想 如图，在RtABC中，cos2Acos2B1.于是把结论类比到四面体PABC中，我们猜想，四面体PABC中，若三个侧面PAB，PBC，PCA两两互相垂直，且分别与底面所成的角为，则cos2cos2cos21. (2017杭州模拟)已知命题：“若数列an是等比数列，且an0，bn(nN*)，则数列bn也是等比数列”类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列an是等差数列，bn(nN*)，则数列bn也是等差数列证明如下：设等差数列an的公差为d，则bna1(n1)
10、，所以数列bn是以a1为首项，为公差的等差数列演绎推理数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.【证明】(1)因为an1Sn1Sn，an1Sn，所以(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.故2，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知4(n2)，所以Sn14(n1)4Sn14an(n2)(大前提)又因为a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)所以对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论) 演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一
11、般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成 已知函数yf(x)满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数 设x1，x2R，取x1x1f(x2)x2f(x1)，所以x1x20，(x2x1)0，因为x10，f(x2)f(x1)所以yf(x)为R上的单调增函数)例析归纳推理中的创新问题设AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，n1，2，3，.若b1c1，b1c12a1，an1
12、an，bn1，cn1，则()ASn为递减数列BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列【解析】在A1B1C1中，b1c1，b1c12a1，所以b1a1c1.在A2B2C2中，a2a1，b2，c2，b2c22a1，所以c1b2a1c2b1.在A3B3C3中，a3a2a1，b3，c3，b3c32a1，所以a1b3c2，b2c3a1，所以c1b2c3a1b3c22，f(8)，f(16)3，f(32)，则有_ 因为f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以当n2时，有f(2n). f(2n)(n2，nN*)9若P0(x0，y0)在椭圆1(ab
13、0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线1(a0，b0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是_ 类比椭圆的切点弦方程可得双曲线1的切点弦方程为1. 110某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是_今天是周六今天是周四A车周三限行 C车周五限行 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四 11我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数yf(x)(xD)，对任意x，y，D均满足f，当且仅当xy时等号成立(1)若定义在(0，)上的函数f(x)M，试比较f(3)f(5)与2f(4)的大小；(2)设函数g(x)x2，求证：g(x)M. (1)对于f，令x3，y5得f(3)f(5)2f(4)(2)证明：g0，所以g，所以g(x)M.
