1、四川省成都市第七中学 2020 届高三数学上学期入学考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共 12 小题）1.已知集合1Mx x，20Nx xx，则（）A.1MNx x B.0MNx x C.MN D.NM【答案】D【解析】【分析】求解不等式20 xx可得|01Nxx，据此结合交集、并集、子集的定义考查所给的选项是否正确即可.【详解】求解不等式20 xx可得|01Nxx，则：|01MNxx，选项 A 错误；|1MNx x，选项 B 错误；NM，选项 C 错误，选项 D 正确；故选 D.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能
2、力.2.已知aR，i 为虚数单位，若 aii 为实数，则 a值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为 0 求解可得答案.【详解】解：21aaiiia iii 为实数，10a，即1a 故选:A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3.孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问:五人各得几何?”其意思为:有 5 个人分 60 个橘子，他们分得的橘子数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（）A.
3、15 B.16 C.18 D.21【答案】C【解析】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果.详解：设第一个人分到的橘子个数为1a，由题意得515 453602Sa，解得16a，则51(5 1)36 1218aa ，故选 C.点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，1,nna d n a S 这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可.4.函数 2xx
4、f xxee的大致图象为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除,B D，利用函数的单调性排除C，从而可得结果【详解】2xxf xxee，22()xxxxfxxeexeef x ，f x为奇函数，其图象关于原点对称，故排除,B D，2yx在0,上是增函数且0y，xxyee在0,上是增函数且0y，所以 2xxf xxee在0,是增函数，排除C，故选 A【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除
5、不合要求的图象.5.5(2)xx的展开式中，4x 的系数是()A.40 B.60 C.80 D.100【答案】C【解析】【分析】先写出二项展开式的通项，然后令 x 的指数为 4，解出相应参数的值，代入通项即可得出结果【详解】5(2)xx二项展开式的通项为5552155(2)()2kkkkkkkTCxxCx 令542k，得2k 因此，二项展开式中4x 的系数为235 280C，故选 C【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1Crn rrrnTab
6、；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为 15，则 M 处条件为 A.16k B.8k C.16k D.8k 【答案】A【解析】【详解】运行程序：S=0,k=1;S=1,k=2;S=3,k=4;S=7,k=8;S=15,k=16,此时退出循环，所以16k，故选 A.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，该题属于补充条件的问题，在求解的过程中，注意数列的项的大小，以及项之间的关系，从而求得正确结果.7.已知锐角ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos
7、 2A=0,a=7,c=6,则 b 等于()A.10 B.9 C.8 D.5【答案】D【解析】【详解】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即 cos2A=125,又因ABC 为锐角三角形,所以 cosA=15.ABC 中由余弦定理知 72=b2+62-2b6 15,即 b2-125b-13=0,即 b=5 或 b=-135(舍去),故选 D.8.曲线4yx与直线5yx围成的平面图形的面积为（）A.152 B.154 C.154ln24 D.158ln 22 【答案】D【解析】【分析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果.【
8、详解】作出曲线4yx与直线5yx围成的平面图形如下：由45yxyx解得：1x 或4x，所以曲线4yx与直线5yx围成的平面图形的面积为 421441115S5542084 458ln21222xdxxxlnxlnx 故选 D【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.9.已知函数 lnf xx x，若直线l 过点0,e，且与曲线 yf x相切，则直线l 的斜率为()A.2 B.2 C.e D.e 【答案】B【解析】【分析】求得 f x 的导数，设出切点,m n，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得 m，从而可得结果【详解】函数
9、lnf xx x的导数为 ln1fxx，设切点为,m n，则nmlnm，可得切线的斜率为1 lnkm，所以ln1lnnem memmm，解得me，1 ln2ke，故选 B【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点00,A xf x求斜率k,即求该点处的导数0kfx；(2)己知斜率k 求切点11,A xf x即解方程1fxk；(3)巳知切线过某点11,M xf x(不是切点)求切点,设出切点00,A xf x利用10010f xf xkfxxx求解.10.巳知将函数()sin(2)02f xx 的图象向左平移
10、个単位长度后.得到函数 g x的图象.若 g x 是偶函数.则3f=()A 12 B.22 C.32 D.1【答案】A【解析】【分析】先由题意写出 sin 23g xx，根据 g x 是偶函数求出，即可得出结果.【详解】由题意可得：sin 23g xx，因为 g x 是偶函数，所以32kkZ，即63kkZ，又02，所以0632k，解得112k，所以0k，故6；所以1sin 23362f.故选 A【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型.11.如图为我国数学家赵爽(约 3 世纪初)在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个
11、小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C 区域涂色不相同的概率为()A.17 B.27 C.37 D.47【答案】D【解析】【分析】利用分步计数原理求出不同涂色方案有 420 种，其中，,A C 区域涂色不相同的情况有 120种，由此根据古典概型概率公式能求出,A C 区域涂色不相同的概率【详解】提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设 5 个区域依次为,A B C D E,分 4 步进行分析：，对于区域 A，有 5 种颜色可选；，对于区域 B 与 A 区域相邻，有 4 种颜色可选；，对于区域 E，与,A
12、 B 区域相邻，有 3 种颜色可选；，对于区域,D C，若 D 与 B 颜色相同，C 区域有 3 种颜色可选，若 D 与 B 颜色不相同，D 区域有 2 种颜色可选，C 区域有 2 种颜色可选，则区域,D C 有32 27 种选择，则不同的涂色方案有5 4 3 7420 种，其中，,A C 区域涂色不相同的情况有：，对于区域 A，有 5 种颜色可选；，对于区域 B 与 A 区域相邻，有 4 种颜色可选；，对于区域 E 与,A B C 区域相邻，有 2 种颜色可选；，对于区域,D C，若 D 与 B 颜色相同，C 区域有 2 种颜色可选，若 D 与 B 颜色不相同，D 区域有 2 种颜色可选，C
13、 区域有 1 种颜色可选，则区域,D C 有22 14 种选择，不同的涂色方案有5 4 3 4240 种，,A C区域涂色不相同的概率为24044207p ,故选 D【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m，然后根据公式mPn求得概率.12.如图，将边长为 1 的正方形 ABCD 沿 x 轴正向滚动，先以 A 为中心顺时针旋转，当 B 落在 x轴时，又以 B 为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点 C 滚动时的曲线方程为 yf x，则下列说
14、法不正确的是（）A.0f x 恒成立 B.8f xf x C.243(23)f xxxx D.20190f【答案】C【解析】【分析】根据正方形的运动关系，分别求出当0 x，1，2，3，4 时对应的函数值 f x，得到 f x 具备周期性，周期为 4，结合图象，当23x时，C 的轨迹为以2,0 为圆心，1 为半径的 14圆，即可判断所求结论【详解】解：正方形的边长为 1，正方形的对角线2AC，则由正方形的滚动轨迹得到0 x 时，C 位于0,1 点，即 01f，当1x 时，C 位于1,2 点，即 12f，当2x 时，C 位于2,1 点，即 21f，当3x 时，C 位于3,0 点，即 30f，当4x
15、 时，C 位于4,1 点，即 41f，则 4f xf x，即 f x 具备周期性，周期为 4，由图可得 0f x 恒成立；8f xf x；当 23x时，C 的轨迹为以2,0 为圆心，1 为半径的 14圆，方程为22(2)1(23,0)xyxy；2019504 4330fff，综上可得 A，B，D 正确；C 错误 故选:C【点睛】本题主要考查函数值的计算和函数的解析式和性质，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键 二、填空题（本大题共 4 小题）13.已知等差数列 na，且48a，则数列 na的前 7 项和7S _【答案】56【解析】【分析】由等差数列的性质可得：17
16、42.aaa利用求和公式即可得出数列 na的前 7 项和7S 【详解】解：由等差数列的性质可得：174216aaa 数列 na的前 7 项和17777 8562aaS 故答案为:56【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 14.若 x，y 满足约束条件202020 xyyxy ，则22xy的最小值为_【答案】2 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据点到直线的距离公式进行求解即可【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：22xy的几何意义是平面区域内的点到原点的距离，由图象得 O 到直线20 xy的距离最小，此时最小值222d，
17、则22xy的最小值是2，故答案为：2 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式结合数形结合是解决本题的关键 15.已知向量 AB 与 AC 的夹角为120，且32ABAC，若 APABAC，且APBCuuuruuur则实数 的值为_【答案】712【解析】，()()2 2(1)0，即94(1)320，解得.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ab|a|b|cos；二是坐标公式 abx1x2y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.16.若过抛物线24y
18、x上一点4,4P，作两条直线 PA，PB 分别与抛物线交于1122(,),(,)A x yB x y两点,若它们的斜率之和为 0，则直线 AB 斜率为_【答案】12【解析】【分析】根据斜率公式可得121244044yyxx,利用221212,44yyxx化简可得128yy,再根据斜率公式可得12ABk.详解】解：依题意有121244044yyxx,又221212,44yyxx,所以1222124404444yyyy,所以1211044yy,所以128yy ,所以12122212121241244AByyyykyyxxyy,【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，斜率公式的应用，考查了
19、计算能力属于基础题.三、解答题（本大题共 6 小题）17.已知等差数列 na的前 n 项和为nS，且39S，又12a 1 求数列 na的通项公式；2 若数列 nb满足nb2na，求证：数列 nb的前 n 项和12nT 【答案】（1）1nan（2）证明见解析【解析】【分析】1 直接利用等差数列前 n 项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式 2 利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和【详解】解：1 设 na的公差为 d,因为39S，又12a 所以313 2392Sad，解得1d 故211nann 2 证明：由于1nan，所以11()2nnb，所以22111111111424()
20、()()112222122nnnT【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前 n 项和的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 18.如图 1,在正方形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，点 F 在线段 BC 上,且14BFBC.若将,AEDCFD 分别沿,ED FD折起，使,A C 两点重合于点 M,如图 2.图 1 图 2(1)求证:EF 平面 MED；(2)求直线 EM 与平面 MFD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)53.【解析】【分析】（1）设正方形 ABCD 的边长为4，由222DEEFDF，可得 E
21、FED，结合MDEF，利用线面垂直的判定定理，即可得到 EF 平面 MED.（2）建立空间直角坐标系，过点 M 作 MNED，垂足为 N，求出向量 EM 和平面MFD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：设正方形的边长为 4，由图 1 知,即 由题意知，在图 2 中，,平面,平面,且,平面,平面,.又平面,平面,且,平面（2）由（1）知平面，则建立如图所示空间直角坐标系，过点作，垂足为，在中，,从而 ,.设平面的一个法向量为，则，令，则，.设直线与平面所成角为,则,.直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的有关问题，一是线面垂直的判定，一定要把握
22、好线面垂直的判定定理的条件，注意勾股定理也是证明线线垂直的好方法，二是求线面角，利用空间向量来求解，即直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，求得结果.19.2016 年某市政府出台了“2020 年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，60,80 内认定为满意，8
23、0 分及以上认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；用样本的频率代替概率 1 求被调查者满意或非常满意该项目的频率；2 若从该市的全体市民中随机抽取 3 人，试估计恰有 2 人非常满意该项目的概率；3 已知在评分低于 60 分的被调查者中，老年人占 13，现从评分低于 60 分的被调查者中按年龄分层抽取 9 人以便了解不满意的原因，并从中选取 2 人担任群众督察员，记 为群众督查员中老年人的人数，求随机变量 的分布列及其数学期望 E 【答案】（1）0.78；（2）12125；（3）23.【解析】试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查
24、者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是 10.0160.004100.25，根据独立重复试验n 次发生 k 次的概率公式可得结果；（3）随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果.试题解析：（1）根据题意：60 分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在60,100 的频率为：0.0280.030.0160.004100.78；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是 10.0160.004100.25，用样本的频率代替概率，从该市的全体
25、市民中随机抽取 1 人，该人非常满意该项目的概率为 15，现从中抽取 3 人恰有 2 人非常满意该项目的概率为：223141255125PC；（3）评分低于 60 分的被调查者中，老年人占 13，又从被调查者中按年龄分层抽取 9 人，这 9 人中，老年人有 3 人，非老年人 6 人，随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，02362915036CCPC 1136291811362CCPC 2036293123612CCPC 的分布列为：0 1 2 p 1536 12 112 的数学期望 E 15112012362123 .20.已知椭圆2222:xyC ab 10ab的焦点坐标分別为11,0F
26、,2 1,0F,P 为椭圆C上一点，满足1235PFPF且123cos5F PF(1)求椭圆C 的标准方程:(2)设直线:l ykxm与椭圆C 交于,A B 两点，点1,04Q，若 AQBQ，求k 的取值范围.【答案】（1）22143xy；（2）11,22k 【解析】分析：第一问首先根据题中条件将涉及到的量设出来，之后结合椭圆的定义以及对应的线段的倍数关系，求得对应的边长，利用余弦定理借用余弦值建立边之间的等量关系式，从而求得,a c 的值，借用椭圆中,a b c 的关系，求得 b 的值，从而求得椭圆的方程，第二问将直线的方程与椭圆的方程联立，求得两根和与两根积，从而求得线段的中点，利用条件可
27、得垂直关系，建立等量关系式，借用判别式大于零找到其所满足的不等关系，求得 k 的取值范围.详解：（1）由题意设11PFr，22PFr则1235rr，又 122rra，154ra，234ra 在 12PFF中，由余弦定理得，12cos FPF 22212121 22rrF Frr 2225324453244aaaa 35，解得2a，1c ，2223bac，所求椭圆方程为22143xy（2）联立方程22143xyykxm，消去 y 得2234kx 284120kmxm，则12xx 2834kmk，212241234mx xk，且2248 340km 设 AB 的中心为00,M xy，则1202xx
28、x 2434kmk，002334mykxmk，AQBQ,ABQM,即，QMk k 22334141344mkkkmk，解得2344kmk 把代入得22234344kkk，整理得4216830kk，即2241 430kk 解得11,22k 点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及的知识点有椭圆的定义、余弦定理、椭圆的标准方程，以及直线与椭圆相交的有关问题，要会将题中条件加以转化，再者要会找对应的不等关系.21.已知函数 xf xxe，232g xxx 1 求证：215022f xg xxx对0,x恒成立；2 若 (0)32f xF xxg xx，若120 xx，122xx，求证：12.F
29、xF x【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先对不等式左边进行化简整理，然后将整理后的表达式设为函数 h x，对函数 h x 进行 一阶导数 和二阶导 数的 分析，得 到 h x在 0,上单 调递 增，则当0 x 时，0010.h xhe 命题得证（2）先对整理后的 F x 进行一阶导数的分析，画出函数 F x 大致图象，可知 10F x，20.F x然后采用先取对数然后作差的方法比较大小，关键是构造对数平均数，利用对数平均不等式即可证明【详解】证明：1 由题意，可知 22221531511222222xxf xg xxexxxexxx 令 2112xh xexx，0
30、.x 则 1xh xex，0.1xxhxe，当0 x 时，10 xhxe，h x在0,上单调递增 当0 x 时，00h xh，h x在0,上单调递增 当0 x 时，0010h xhe 故命题得证 2 由题意，xeF xx，0 x 21xxeF xx，0 x 令 0F x，解得1x；令 0F x，解得01x；令 0F x，解得1x F x在0,1 上单调递减，在1,上单调递增，在1x 处取得极小值 1Fe F x 大致图象如下：根据图，可知 10F x，20F x 12121122121212.xxeelnF xlnF xlnlnxlnxxlnxxxlnxlnxxx 120 xx，122xx，根
31、据对数平均不等式，有 12121212xxxxlnxlnx，1212121211 10lnF xlnF xlnxlnxxxxx 120 xxQ，120lnF xlnF x 12.F xF x 故得证【点睛】本题主要考查函数的一阶导数和二阶导数对函数单调性分析的能力，数形结合法的应用，构造函数，构造对数平均数，利用对数平均不等式的技巧，本题属偏难题 22.在直角坐标系 xOy 中，圆C 的参数方程为1 cossinxy(参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin3cos3 3.（1）求C 的极坐标方程；（2）若射线11:02OM 与圆C 的交点为,O
32、P，与直线l 的交点为Q，求OPOQ的取值范围.【答案】（1）2cos；（2）06OP OQ.【解析】试题分析：（1）圆 C 的参数方程消去参数，能求出圆 C 的普通方程，再由 x=cos，y=sin，能求出圆 C 的极坐标方程（2）设 P（1，1），则有 1=cos1，Q（2，1），则2113 3sin3cos，OP OQ=12，结合 tan10，能求出 OP OQ 的范围 试题解析：（1）圆C 的普通方程是2211xy，又cos,sinxy，所以圆C 的极坐标方程是2cos.（2）设 11,P ，则有 11cos，设21,Q ，且直线l 的方程是 sin3cos3 3，则有2113 3sin3cos 所以11211116 3cos6 302sin3cos3tanOP OQ 因为1tan0，所以06OP OQ.
