1、高三数学复习之平面向量的概念及运算1向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”（），表示ABC的边BC的中线。向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），|表示A、B两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线长分别为|+|、|-|。是的重心。会用“模不等式”：|-|+|解决有关模的范围问题，关注等号成立的条件。 已知ABC的三个顶点A、B、C及其所在平面内一点P，满足+=，则点P与ABC的关系为： A. P在ABC内部 B. P在ABC外部 C. P在边AB所在的直线上 D. P是AC边的一个三等分点解析：由
2、+=+=+=-2P与A、C共线且为线段AC的三等分点，选D。已知=（3，4）， =1，则|的取值范围是_解析：思路一：用“模不等式” |-|5-|1|。思路二：记=，=，则A（3，4），=|=1，即点B到定点A的距离为1，点B在以A为圆心，1为半径的圆周上，数形结合不难得到|，即|。 已知ABC，若对任意tR，|，则AA=900 BB=900 CC=900 DD=900已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cos,sin），则向量与向量的夹角范围为：(A) (B) (C) (D) 2.在0时，(即、共线)存在实常数使=（特别地：当0时同向，当0表示BAC的平分线。设、是两个起点相同且
3、不共线的非零向量，则当实数t=_时，,t,(+)三向量的终点共线解析：记=，t=，(+)=，A、B、C三点共线即向量、共线存在实数，使得=即：t-=（-），、不共线（很重要！）t=且1= t=。注意：若、不共线的非零向量，且m+n=p+q则：M=n且p=q(m,n,p,q是实数)，读者可以思考一下为什么？非零向量=（sin,1）, =(0,cos),-所在的直线的倾角为，（1）若与共线，求的值；（2）当（0，）时，求证：=/2 。是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：=+则P点的轨迹一定通过ABC的的轨迹一定通过ABC的（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心3向量的数量积：（符号
4、运算）；其中可视为向量 在向量 上的射影。向量的数量积是数而不是向量，向量的射影是数而未必是正数。向量的数量积满足交换率、对加（减）法的分配率、不满足结合率，即（）（），一个等式的两边、一个分式的分子分母不能同乘以或同除以一个向量。若=（x1,y1）, =(x2,y2),则= x1 x2+y1 y2（坐标运算）;在使用向量数量积的公式时，要根据题目的条件和设问特点选择使用符号运算还是坐标运算。应用：（1）角度：且；可视为与、同向的两个单位向量的数量积；为锐角0且、不共线，为锐角0且、不共线；特别地：0x1 x2+y1 y2=0；O是ABC的垂心=（请读者证明这个结论）。（2）长度： 即2=（）
5、2（符号运算）；2=x12+y12 （坐标运算）。|-|=|+|（矩形），（-）（+）|=|（菱形），|-|2+|+|2=2（|2+|2）（即平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，对已知三角形三边长求中线长的问题用这个结论很快捷）。已知=（1，0），=（0，1），求使向量+k与向量+2k的夹角为锐角的k的取值范围。解析：+k=（1，k），+2k=（2k，1），向量+k与向量+2k的夹角为锐角（+k）（+2k）0,且+k与+2k不共线，即2k+k0且2k21得：k0,且k。已知向量（cos，sin），（cos，sin），且x，.求及|+|；（II）求函数f(x)-的最小值。解析：（）= c
6、oscossinsin=cos2x （坐标运算）,= 2cosx（符号运算）； （）f(x)= cos2x +2cosx =2 cos2x+2cosx1=2（cosx+）2， cosx当cosx =0时f(x)取得最小值。已知与的夹角为60，如果，则m的值为（）A.B.C.D. 已知OFQ的面积为S，且，(1)若S2,求向量与的夹角的取值范围； (2）设|=，S =，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当|取得最小值时，求此椭圆的方程. 已知非零向量与满足且则为（ ）（A）等边三角形（B）直角三角形 （C）等腰非等边三角形 （D）三边均不相等的三角形4关注平面向量基本定理中的关键词：、不共线
7、有且仅有一对实数、。 设同一平面内的两向量、不共线，是该平面内的任一向量，则关于x的方程x2+x+=的解的情况，下列叙述正确的是：（ ）A至少有一个实数解 B至多有一个实数解 C有且只有一个实数解 D可能有无数个解解析：此题不可用“判别式”，“判别式”只能判别实系数一元二次方程的根的情况，而本题中二次方程的系数是向量。原方程即： =- x2- x，、不共线，可视为“基底”，根据平面向量基本定理知，有且仅有一对实数、使得= - x2且= - x，即当= -2时方程有一解，否则方程无解，故选B。已知、分别是ABC的边BC、AC上的中线，且=，=，则可以用向量、表示为 。Oxy600如图，在平面斜坐
8、标系中，=600，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若=x+y，其中、分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点的斜坐标为(x,y).（1）若点P的斜坐标为（2，-2），求P到O的距离|PO|；（2）求以O为圆心、1为半径的圆在斜坐标系中的方程。简答1记：（B、C、C/共线），则=|即对直线BC上任意一点C/都有|A C/|AC|AC BC，故选C； |=，A点在以C为圆心，为半径的圆上，图示，选D， 2、（1），（2）-= （sin,1-cos）,tan=tan,(0,);记ABC中BC边上的高为，则|sinB=|sinC=,=+(+),记BC的中点为M, =+2,选C；3、 C， （1）（2）以为x轴正向，O为原点建系，=（c,0),记Q(x0,y0), =(x0-c,y0),则：c(x0-c )=1,且c|y0|=,得：x0=,|y0|=,|2=记：t=,(t4),g(t)=在 ()=0，即角A的平分线垂直于BC， AB=AC，又= A=，所以ABC为等边三角形，选A。4.，（1）2，（2）x2+y2+xy-1=0- 6 -
