1、第2讲参数方程1参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致2直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线yy0k(xx0)(t为参数)圆(xx0)2(yy0)2R2(为参数且02)椭圆1(ab0)(t为参数且0t2)抛物线y22px(p0)(t为参数)_参数方程与普通方程的互化_(1)(2014高考湖南卷
2、改编)求曲线C：(t为参数)的普通方程(2)(2015西安质检)若直线3x4ym0与圆(为参数)相切，求实数m的值解(1)x2t，tx2，代入y1t，得yx1，即xy10.(2)圆消去参数，化为普通方程是(x1)2(y2)21.因为直线与圆相切，所以圆心(1，2)到直线的距离等于半径，即1，解得m0或m10.规律方法消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数注意将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定
3、函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围1.将下列参数方程化为普通方程(1)(2)解：(1)两式相除，得k，将其代入得x，化简得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)，x1sin 20，2，得y22x.即所求的普通方程为y22x，x0，2_参数方程的应用_(2014高考课标全国卷)已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C
4、上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.规律方法1.解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等2根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.(1)弦长l|t1t2|；(2)弦M1M2的中点t1t20；(3)|M0M
5、1|M0M2|t1t2|.2.(2015东北三校联考)已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值解：(1)曲线C的标准方程：(x1)2(y2)216，直线l的参数方程：(t为参数)(2)将直线l的参数方程代入圆C的标准方程可得t2(23)t30，设t1，t2是方程的两个根，则t1t23，所以|PA|PB|t1|t2|t1t2|3._极坐标方程与参数方程的综合_(2014高考辽宁卷)将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2
6、倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得由xy1，得x21，即曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，即.规律方法涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐
7、标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程3.(2015云南省统一检测)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，当t1时，曲线C1上的点为A，当t1时，曲线C1上的点为B.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 .(1)求A、B的极坐标；(2)设M是曲线C2上的动点，求|MA|2|MB|2的最大值解：(1)当t1时，即A的直角坐标为A(1，)；当t1时，即B的直角坐标为B(1，)A的极坐标为A，B的极坐标为B.(2)由，得2(45sin2)36，曲线C2的直角坐标方程为1.设曲线C2上的动点M的坐标为M(3cos ，2sin )，则|MA|2|MB|
8、210 cos21626，|MA|2|MB|2的最大值为26.1(2014高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，求线段AB的长解：将直线l的参数方程代入抛物线方程y24x，得4，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.2在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(为参数)和曲线C2：1上，求|AB|的最小值解：曲线C1：(为参数)的直角坐标方程为(x3)2(y4)21，知C1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C2：1的直角坐标方程是x2y21，可知C2是以原
9、点为圆心，1为半径的圆，题意就是求分别在两个圆C1和C2上的两点A，B的最短距离由圆的方程知，这两个圆相离，所以|AB|min115113.3(2015东北三校联合模拟)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C1的极坐标方程为2，直线l的极坐标方程为.(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；(2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值解：(1)C1：x22y22，l：yx4.(2)设Q(cos ，sin )，则点Q到直线l的距离d，当且仅当2k(kZ)，即2k(kZ)时取等号4(2015山西省忻州市第一次联考)在直角坐标平面内，直线l过点P(
10、1，1)，且倾斜角.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为4sin .(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设直线l与圆C交于A、B两点，求|PA|PB|的值解：(1)4sin ，24sin ，则x2y24y0，即圆C的直角坐标方程为x2y24y0.(2)由题意，得直线l的参数方程为(t为参数)将该方程代入圆C方程x2y24y0，得(1t)2(1t)24(1t)0，即t22，t1，t2.即|PA|PB|t1t2|2.5(2015石家庄第一次模拟)在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：(为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，
11、建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：cos .(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)若P，Q分别是曲线C1和C2上的任意一点，求|PQ|的最小值解：(1)cos ，x2y2x，即(x)2y2.(2)设P(2cos ，sin )，易知C2(，0)，|PC2|，当cos 时，|PC2|取得最小值，|PC2|min，|PQ|min.6(2015河北唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为2(cos sin )(1)求C的直角坐标方程；(2)直线l：(t为参数)与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|EB|的值
12、解：(1)在2(cos sin )中，两边同乘，得22(cos sin )，则C的直角坐标方程为x2y22x2y，即(x1)2(y1)22.(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化简得t2t10，点E对应的参数t0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t21，t1t21，所以|EA|EB|t1|t2|t1t2|.1(2015新乡许昌平顶山第二次调研)已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(为参数)(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值解：
13、(1)l的普通方程为y(x1)，C1的普通方程为x2y21.联立方程，解得l与C1的交点为A(1，0)，B，则|AB|1.(2)C2的参数方程为(为参数)故点P的坐标是.从而点P到直线l的距离d，当sin1时，d取得最小值，且最小值为(1)2(2013高考辽宁卷)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos ()2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为x
14、y40.解得所以C1与C2交点的极坐标为(4，)，(2，)注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20，由参数方程可得yx1.所以解得3(2015贵州省六校联考)在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：sin22acos (a0)，过点P(2，4)的直线l：(t为参数)与曲线C相交于M，N两点(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值解：(1)把代入sin22acos ，得y22ax(a0)，由(t为参数)，消
15、去t得xy20，曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y22ax(a0)，xy20.(2)将(t为参数)代入y22ax，整理得t22(4a)t8(4a)0.设t1，t2是该方程的两根，则t1t22(4a)，t1t28(4a)，|MN|2|PM|PN|，(t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2，8(4a)248(4a)8(4a)，a1.4(2015吉林长春调研)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4sin.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)点P(x，y)是直线l与圆面4sin的公共点，求xy的取值范围解：(1)因为圆C的极坐标方程为4sin，所以24sin4.又2x2y2，xcos ，ysin ，所以x2y22y2x，所以圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0.(2)设zxy，由圆C的方程x2y22x2y0，得(x1)2(y)24，所以圆C的圆心是(1，)，半径是2.将代入zxy，得zt，又直线l过C(1，)，圆C的半径是2，所以2t2，所以2t2，即xy的取值范围是2，2
