1、专题对点练6导数与函数的单调性、极值、最值专题对点练第6页1.(2017辽宁大连检测,理20)已知函数f(x)=ln(x-1)+(aR).(1)若函数f(x)在区间(1,4)内单调递增,求a的取值范围;(2)若函数y=f(x)的图象与直线4x-3y-2=0相切,求a的值.解 (1)f(x)=,函数f(x)在区间(1,4)内单调递增,f(x)0在(1,4)内恒成立,(x+1)2+a(x-1)0,即a=-x-3+=-4在(1,4)内恒成立,x(1,4),x-1(0,3),x-1+4,取等号条件为当且仅当x=3,-4-8,a-8.(2)设切点为(x0,y0),则f(x0)=,4x0-3y0-2=0,
2、y0=ln(x0-1)+,且=ln(x0-1)+.由得a=(x0+1)2,代入得=ln(x0-1)+(x0+1)x0,即ln(x0-1)+=0,令F(x)=ln(x-1)+,则F(x)=,8x2-19x+17=0的=-1830恒成立.F(x)在(1,+)内恒为正值,F(x)在(1,+)内单调递增.F(2)=0,x0=2代入式得a=3.2.(2017辽宁鞍山一模,理21改编)已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2,其中aR.(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线x+y-1=0垂直,求a的值;(2)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.解 (1)因为f(x)=+2ax,由f(x)在x=1
3、处的切线与直线x+y-1=0垂直,可知f(1)=+2a=1,所以a=.(2)由题意知,函数f(x)的定义域为(-1,+),f(x)=+2ax=,令g(x)=2ax2+2ax+1,x(-1,+).()当a=0时,g(x)=1,此时f(x)0,函数f(x)在(-1,+)单调递增,无极值点;()当a0时,方程g(x)=2ax2+2ax+1的判别式=4a2-8a=4a(a-2).当02时,0,设方程2ax2+2ax+1=0的两根为x1,x2(x1x2),因为x1+x2=-1,g(x)=2ax2+2ax+1的图象的对称轴方程为x=-,所以x1-.由g(-1)=g(0)=10,可得-1x1-x20,f(x
4、)0,函数f(x)单调递增;当x(x1,x2)时,g(x)0,f(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增.因此函数f(x)有两个极值点.()当a0,由g(-1)=g(0)=10,可得x10,当x(-1,x2)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增;当x(x2,+)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减,所以函数有一个极值点.综上所述,当a2时,函数f(x)有两个极值点.导学号168041673.(2017河北衡水中学三调,理21)设函数f(x)=-ax,e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)的图象在点(e2,f(e2)处的切线方程为3x+4y-e2=0,求实数a,b的值
5、;(2)当b=1时,若存在x1,x2e,e2,使f(x1)f(x2)+a成立,求实数a的最小值.解 (1)f(x)=-a(x0,且x1),由题意得f(e2)=-a=-,f(e2)=-ae2=-e2,联立解得a=b=1.(2)当b=1时,f(x)=-ax,f(x)=-a,xe,e2,ln x1,2,.f(x)+a=-,f(x)+amax=,xe,e2.存在x1,x2e,e2,使f(x1)f(x2)+a成立xe,e2,f(x)minf(x)+amax=.当a时,f(x)0,f(x)在xe,e2上为减函数,则f(x)min=f(e2)=-ae2,解得a.当a时,由f(x)=-a在e,e2上的值域为.
6、()当-a0即a0时,f(x)0在xe,e2上恒成立,因此f(x)在xe,e2上为增函数,f(x)min=f(e)=e-ae,不符合题意,舍去.()当-a0时,即0a时,由f(x)的单调性和值域可知存在唯一x0(e,e2),使得f(x0)=0,且满足当xe,x0)时,f(x)0,f(x)为增函数.f(x)min=f(x0)=-ax0,x0(e,e2).a,与0a0时,m(x)0;当x0时,m(x)0,当x0时,h(x)0时,h(x)0,h(x)单调递增,所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当a0时,h(x)=2(ex-eln a)(x-sin x),由h(x)=0得
7、x1=ln a,x2=0.()当0a1时,ln a0,当x(-,ln a)时,ex-eln a0,h(x)单调递增;当x(ln a,0)时,ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=ln a时h(x)取到极大值.极大值为h(ln a)=-aln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2,当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;()当a=1时,ln a=0,所以当x(-,+)时,h(x)0,函数h(x)在(-,+)上单调递增,无极值;()当a1时,ln a0,所以当x(-,0)时,ex-eln a0,h(x)单调递增;当x(0,
8、ln a)时,ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;当x=ln a时h(x)取到极小值,极小值是h(ln a)=-aln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2.综上所述:当a0时,h(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当0a1时,函数h(x)在(-,0)和(ln a,+)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是h(ln a)=-aln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2.导学号16804169
