1、第2讲线面平行与面面平行考试要求1.空间中线面平行、面面平行的判定定理、性质定理及有关性质，B级要求；2.运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题，B级要求知 识 梳 理1直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面没有公共点，则称直线l与平面平行(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a，b，aba性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a，a，bab2平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面(2)判定定
2、理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a，b，abP，a，b性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面，aa如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，bab3与垂直相关的平行的判定(1)a，bab.(2)a，a.诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行()(2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(4)如果两个平面平行，那么分别在这
3、两个平面内的两条直线平行或异面()解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误(2)若a，P，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误答案(1)(2)(3)(4)2给出下列四个命题：若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面；若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行；若直线a，b和平面满足a，b，那么ab；若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b.其中正确的是_(填序号)解析根据线面平行的判定与性质定理知，正确答案3(2015北京卷改编
4、)设，是两个不同的平面，m是直线且m.“m”是“”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)解析当m时，可能，也可能与相交当时，由m可知，m.“m”是“”的必要不充分条件答案必要不充分4(必修2P35练习5改编)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_解析连接BD，设BDACO，连接EO，在BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为BDD1的中位线，则BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.答案平行5设，为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：a，b，a，
5、b；，；，；a，b，ab.其中能推出的条件是_(填上所有正确的序号)解析在条件或条件中，或与相交由，条件满足在中，a，abb，又b，从而，满足答案考点一线面、面面平行的相关命题的真假判断【例1】 (2015安徽卷改编)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题：若，垂直于同一平面，则与平行；若m，n平行于同一平面，则m与n平行；若，不平行，则在内不存在与平行的直线；若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面其中正确的是_(填序号)解析对于，可能相交，故错误；对于，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；对于，若m，n，mn，则m，故错误；对于，假设m，n垂直于同一
6、平面，则必有mn与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故正确答案规律方法(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确【训练1】 (2017苏北四市调研)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn，m，则m；若m，n，mn，则.其中是真命题的是_(填序号)解析mn或m，n异面，故错误；易知正确；m或m，故错误；或与相交，故错误答案考点二直线与平面平行的判定与性质
7、(多维探究)命题角度一直线与平面平行的判定【例21】 (2016全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积(1)证明由已知得AMAD2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.如图，取BC的中点E，连接AE
8、.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.命题角度二直线与平面平行性质定理的应用【例22】 如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积(1)证明因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)解如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因
9、为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，PO平面PBD.所以POGK，且GK底面ABCD，又EF平面ABCD，从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K为OB的中点再由POGK得GKPO，即G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.规律方法(1)判断或证明线面平行的常用方法有：利用反
10、证法(线面平行的定义)；利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；利用面面平行的性质定理(，aa)；利用面面平行的性质(，a，aa)(2)利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线【训练2】 在四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD.证明(1)连接EC，ADBC，BCAD，E为AD的中点，BC綊AE，四边形ABCE是平行四边形，O为AC的中点，又F是PC的中点，FOAP，
11、又FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.(2)连接FH，OH，F，H分别是PC，CD的中点，FHPD，又PD平面PAD，FH平面PAD，FH平面PAD.又O是BE的中点，H是CD的中点，OHAD，又AD平面PAD，OH平面PAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又GH平面OHF，GH平面PAD.考点三面面平行的判定与性质(典例迁移)【例3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
12、GH是A1B1C1的中位线，则GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綊AB，A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.【迁移探究1】 如图，在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA.证明如图所示，连接A1B.D为BC1的中点，H为A1C1的中点，HDA1B，又HD平面A1B1BA，A1B平面A1
13、B1BA，HD平面A1B1BA.【迁移探究2】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D平面AB1D1”，试求的值解连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，所以BC1D1O，则1.又由题设，1，即1.规律方法(1)判定面面平行的主要方法利用面面平行的判定定理线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)(2)面面平行的性质定理两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面若一平面与两平行平面相交，则交线平行
14、提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行【训练3】 (2016山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC.求证：ACFB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点求证：GH平面ABC.证明(1)因为EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF，图如图，连接DE.因为AEEC，D为AC的中点，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.因为FB平面BDEF，所以ACFB.(2)如图，设FC的中点为I，连接GI，HI.图在CEF中，因为G是CE的中点，所以GIEF.又EFDB，所以GID
15、B.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC，因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.思想方法1线线、线面、面面平行间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化2直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质3平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.易错防范1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误2面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件3如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交
16、4运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2017保定模拟)有下列命题：若直线l平行于平面内的无数条直线，则直线l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，b，则a；若直线ab，b，则a平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数是_解析命题l可以在平面内，不正确；命题直线a与平面可以是相交关系，不正确；命题a可以在平面内，不正确；命题正确答案12设m，n是不同的直线，是不同的平面，且m，n，则“”是“m且n”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一
17、个)解析若m，n，则m且n；反之若m，n，m且n，则与相交或平行，即“”是“m且n”的充分不必要条件答案充分不必要3(2017盐城中学质检)如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是_解析在三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，AB平面ABC，A1B1平面ABC，A1B1平面ABC，过A1B1的平面与平面ABC交于DE.DEA1B1，DEAB.答案平行4(2017连云港调研)在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_解析如图，取CD的中点E.连接AE，BE，由于M，N分别是ACD，BCD
18、的重心，所以AE，BE分别过M，N，则EMMA12，ENBN12，所以MNAB.因为AB平面ABD，MN平面ABD，AB平面ABC，MN平面ABC，所以MN平面ABD，MN平面ABC.答案平面ABD与平面ABC5(2017镇江期末)设b，c表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：若b，c，则bc；若b，bc，则c；若c，则c；若c，c，则.其中正确的命题是_(填序号)解析中直线b，c平行或异面，则错误；中c或c，则错误；中c，的位置关系可能平行、相交或者直线在平面上，则错误；由线面平行的性质、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理可知正确，故正确命题是.答案6下列四个正方体图形中，A，B为正方
19、体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是_解析中，易知NPAA，MNAB，平面MNP平面AAB，可得出AB平面MNP(如图)中，NPAB，能得出AB平面MNP.在中不能判定AB平面MNP.答案7(2017淮安调研)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AC2.又E为AD中点，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面AB1CAC，EFAC，F为DC中点，EFAC.答案8(2017承德模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD
20、A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析连接HN，FH，FN，则FHDD1，HNBD，平面FHN平面B1BDD1，只需MFH，则MN平面FHN，MN平面B1BDD1.答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)二、解答题9一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论解
21、(1)点F，G，H的位置如图所示(2)平面BEG平面ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BCFG，BCFG，又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BECH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.10(2017苏、锡、常、镇四市模拟)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点求证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEM
22、O，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE平面MNG.能力提升题组(建议用时：20分钟)11给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面，的三个命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则lm；若l，m，n，l，则mn.其中真命题是_(填序号)解析中当与不平行时，也可能存在符合题意
23、的l，m；中l与m也可能异面；中ln，同理，lm，则mn，正确答案12在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，给出下列结论：ACBD；AC截面PQMN；ACBD；异面直线PM与BD所成的角为45.其中错误的结论是_(填序号)解析因为截面PQMN是正方形，所以MNQP，又PQ平面ABC，MN平面ABC，则MN平面ABC，由线面平行的性质知MNAC，又MN平面PQMN，AC平面PQMN，则AC截面PQMN，同理可得MQBD，又MNQM，则ACBD，故，正确又因为BDMQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45，故正确答案13如图所示，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B
24、1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B平面B1CD，则A1DDC1的值为_解析设BC1B1CO，连接OD.A1B平面B1CD且平面A1BC1平面B1CDOD，A1BOD，四边形BCC1B1是菱形，O为BC1的中点，D为A1C1的中点，则A1DDC11.答案114(2015江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
