1、第18课利用导数研究函数的最(极)值【自主学习】第18课 利用导数研究函数的最(极)值(本课时对应学生用书第4547页)自主学习回归教材1. (选修2-2P31例2改编)函数f(x)=x3-4x+的极大值是，极小值是.【答案】-5【解析】f(x)=x2-4，令f(x)=0，解得x1=-2，x2=2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(-，-2)-2(-2，2)2(2，+)f(x)+0-0+f(x)极大值f(-2)极小值f(2)因此，当x=-2时，f(x)有极大值f(-2)=；当x=2时，f(x)有极小值f(2)=-5.2. (选修1-1P76练习2改编)已知函数f(x)=x3-
2、x2-x+a，且f(x)的极小值为1，则f(x)的极大值为.【答案】【解析】f(x)=3x2-2x-1，令f(x)=0，则x=-或x=1.当x1时，f(x)0；当-x1时，f(x)0，得x1或x-1，所以当x=1时，y极小值=a-6；当x=-1时，y极大值=a+6，所以a-6=0或a+6=0，所以a=6.1. 函数的极值若在函数y=f(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，则称函数y=f(x)在点x=x0处取得极小值，记作y极小值=f(x0).2. 求函数极值的步骤(1)求导数f(x).(2)求方程f(x)=0的所有实数根.(3)观察在每个根xn附近，从左
3、到右，导函数f(x)的符号如何变化，若f(x)的符号由正变负，则f(xn)是极大值；若由负变正，则f(xn)是极小值；若f(x)的符号在xn的两侧附近相同，则xn不是函数f(x)的极值点.3. 函数的最值若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的xI，都有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数的最大值，记作ymax=f(x0)；若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的xI，都有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin=f(x0).4. 求函数y=f(x)在区间a，b上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间a，b上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f
4、(a)，f(b)比较，得到 f(x)在区间a，b上的最大值与最小值.【要点导学】要点导学各个击破利用导数研究函数的极值例1判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；如果没有极值，请说明理由.(1)y=8x3-12x2+6x+1；(2)y=1-(x-2.【思维引导】本题主要应用函数极值的概念和求函数极值的方法求极值.解决本题的关键是先求出导数为零的点，再判断函数在该点的左右邻域的单调性是否相反.【解答】(1)因为y=24x2-24x+6，令y=0，即24x2-24x+6=0，解得x=，当x时，y0；当x0，所以此函数无极值.(2)当x2时，有y=-(x-2.当x=2时，y不存在，因此y在
5、x=2处不可导.但在x=2处的左右邻域y均存在，且函数y=f(x)在x=2处连续，故可依据y在x=2的左右邻域的符号来判断函数在x=2处是否有极值.当x0；当x2时，y，则-2aa-2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(-，-2a)-2a(-2a，a-2)a-2(a-2，+)f(x)+00+f(x)极大值极小值所以f(x)在(-，-2a)和(a-2，+)上为增函数，在(-2a，a-2)上为减函数.函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a；函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2.若aa-2，当
6、x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(-，a-2)a-2(a-2，-2a)-2a(-2a，+)f(x)+00+f(x)极大值极小值所以f(x)在(-，a-2)，(-2a，+)上为增函数，在(a-2，-2a)上为减函数.函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a；函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2.【精要点评】第(2)问中导数符号的判断，关键是看前面二次函数的符号，通过讨论两根大小后，列表判断f(x)符号及f(x)的单调性，进而判断出极值点，求极值.利用导数研究函数的最值微课4 问题提出导数在研究
7、函数的极值和最值方面的应用问题是高考的一个热点问题，它涉及内容广泛，可以多角度、多层次地考查学生分析问题和解决问题的能力.应用类问题中求最值的问题比较多，这与函数的极值联系紧密.利用导数求函数的最大(小)值，其解题流程是怎样的呢? 典型示例例2已知函数f(x)=x3-ax2-3x.(1)若函数f(x)在区间2，+)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x=3是函数f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最大值和最小值.【思维导图】【规范解答】(1)由题意知f(x)=3x2-2ax-3，令f(x)0(x2)，得a.记t(x)=，当x2时，t(x)是增函数，所以t(x)min=，所以实数a的取值
8、范围是.(2)由题意得f(3)=0，即27-6a-3=0，所以a=4，所以f(x)=x3-4x2-3x，f(x)=3x2-8x-3.令f(x)=0，得x1=-(舍去)，x2=3.当x(1，3)时，f(x)0，所以f(x)在(3，4上为增函数.所以当x=3时，f(x)有极小值.于是，当x1，4时，f(x)min=f(3)=-18，而f(1)=-6，f(4)=-12，所以f(x)max=f(1)=-6.【精要点评】(1)若函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f(x)0，其逆命题不成立.因为f(x)0包括f(x)0与f(x)=0，当f(x)0时，函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递增，
9、当f(x)=0时，f(x)在这个区间内为常函数；同理，若函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f(x)0，其逆命题也不成立.(2)使f(x)=0的离散的点不影响函数的单调性. 总结归纳求函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤：求f(x)在区间(a，b)上的极值；将第一步中所求的极值与f(a)，f(b)比较，得到函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值. 题组强化1.(2015江苏模拟)函数f(x)=x3-3x2+2在区间-1，1上的最大值是.【答案】2【解析】f(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f(x)=0，得x=0或x=2(舍去).当-1x0；当0x1时，f(x)0
10、，所以当x=0时，函数取得的极大值即为最大值，所以f(x)的最大值为2.2.已知a+ln x对任意的x恒成立，那么实数a的最大值为.【答案】0【解析】设f(x)=+ln x，则f(x)=+=.当x时，f(x)0，所以函数f(x)在(1，2上单调递增，所以f(x)min=f(1)=0，所以a0，即a的最大值为0.3.(2014南通期末)在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=aln x的切线，则当a0时，实数b的最小值为.【答案】-1【解析】设直线y=x+b与曲线y=aln x相切于点(x0，x0+b)，所以y=1，x0=a，a+b=aln a，b=aln a-a.令函数g(a)=al
11、n a-a(a0)，当g(a)=ln a+1-1=ln a=0时，a=1，当0a1时，g(a)1时，g(a)0，所以函数g(a)在(0，1)上单调递减，在(1，+)上单调递增，g(a)的最小值为g(1)=-1，所以b的最小值为-1.4.(2015广州调研)已知函数f(x)=ax2-bln x在点(1，f(1)处的切线为y=1. (1)求实数a，b的值. (2)问：是否存在实数m，使得当x(0，1时，函数g(x)=f(x)-x2+m(x-1)的最小值为0?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【解答】(1)因为f(x)=ax2-bln x，其定义域为(0，+)，所以f(x)=2ax-.
12、依题意可得解得a=1，b=2.(2)g(x)=f(x)-x2+m(x-1)=m(x-1)-2ln x，x(0，1，所以g(x)=m-=.当m0时，g(x)0，则g(x)在(0，1上单调递减，所以g(x)min=g(1)=0.当02时，则x时，g(x)0，所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，故当x=时，g(x)取最小值为g.因为g0.(1)若a=2，求曲线y=g(x)在点(1，g(1)处的切线方程.(2)是否存在负数a，使得f(x)g(x)对一切正数x都成立?若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.【思维引导】(1)求出切点坐标和在切点处的导数值即可；(2)移项后构造新函数，利用导数
13、求出其最大值，只要最大值小于等于0即可.【解答】(1)由题意可知，当a=2时，g(x)=4x2-ln x+2，则g(x)=8x-，曲线y=g(x)在点(1，g(1)处的切线的斜率k=g(1)=7，又g(1)=6，所以曲线y=g(x)在点(1，g(1)处的切线的方程为y-6=7(x-1)，即y=7x-1.(2)设函数h(x)=f(x)-g(x)=ax+ln x-a2x2(x0)，假设存在负数a，使得f(x)g(x)对一切正数x都成立，即当x0时，h(x)的最大值小于等于0.h(x)=a+-2a2x=(x0)，令h(x)=0，可得x1=-，x2=(舍去)，当0x0，h(x)单调递增；当x-时，h(
14、x)0，求函数F(x)=在区间a，2a上的最大值.(3)求证：对一切x(0，+)，都有ln x-成立.【思维引导】(1)求出切点及切点处的导数值即可；(2)先判断f(x)的单调性，结合区间a，2a，讨论求解；(3)两边乘以x后，左侧构造成f(x)形式，只要证明左侧的最小值大于右侧的最大值，利用导数解决两侧的相关最值.【解答】(1)由题意知f(x)定义域为(0，+)，f(x)=ln x+1，因为f(e)=e，又因为k=f(e)=2，所以函数y=f(x)在x=e处的切线方程为y=2(x-e)+e，即y=2x-e.(2)F(x)=(ln x+1)，令F(x)=0，得x=，当x时，F(x)0，F(x)
15、单调递增，故F(x)在a，2a上的最大值为F(x)max=maxF(a)，F(2a).因为F(a)-F(2a)=ln a-2ln 2a=ln ，所以当0时，F(a)-F(2a)-(x(0，+)，由(2)可知f(x)=xln x(x(0，+)的最小值为-，当且仅当x=时取得.设m(x)=-(x(0，+)，则m(x)=，易得m(x)max=m(1)=-，当且仅当x=1时取得.所以f(x)m(x)，从而对一切x(0，+)，都有ln x-成立.【精要点评】对第(2)问，因为函数不是二次函数，在x=的两侧不对称，所以如果讨论区间的位置则比较复杂；对第(3)问构造f(x)是解决问题的关键，如果直接移项构造
16、一个新函数来证明，则相对比较复杂.1.(2015哈尔滨三中模拟)已知x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为.【答案】18【解析】因为x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点，即x=2是f(x)=3x2-3a=0的根，代入x=2，得a=4，所以函数解析式为f(x)=x3-12x+2，则3x2-12=0，即x=2，故函数在(-2，2)上是减函数，在(-，-2)，(2，+)上是增函数，由此可知当x=-2时，函数f(x)取得极大值f(-2)=18.2.(2014常州模拟)若函数f(x)=在x=1处取得极值，则实数a=.【答案】3【解析】f(x)=，由题意得
17、f(1)=0，即=0，解得a=3.3.(2015全国卷)已知函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】设g(x)=ex(2x-1)，y=ax-a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y=ax-a的下方.因为g(x)=ex(2x+1)，所以当x-时，g(x)-时，g(x)0，所以当x=-时，g(x)min=-2.如图，当x=0时，g(0)=-1，当x=1时，g(1)=e0，直线y=ax-a恒过点(1，0)且斜率为a，故-ag(0)=-1，且g(-1)=-3e-1-a-a，解得a1.(第3题)4.(2
18、014陕西卷)已知函数f(x)=ln x+，mR.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)=f(x)-的零点个数.【解答】(1)当m=e时，f(x)=ln x+，f(x)=，x(0，+).当x(0，e)时，f(x)0，所以f(x)在(e，+)上单调递增.所以当x=e时，f(x)取得极小值f(e)=2.(2)g(x)=f(x)-=-(x0)，令g(x)=0，得m=-x3+x(x0).设(x)=-x3+x(x0)，则(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)，当x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递增.当x(1，+)时，(x)时，函数g(x)
19、无零点；当m=时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m=或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m0，所以f(x)是增函数.又f(0)=0，所以f(x)0，所以f(x)在0，上是增函数.又函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在-，上的最大值为2-2，最小值为0.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第3536页.【检测与评估】第18课利用导数研究函数的最(极)值一、 填空题1已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10，那么=.2已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9，且f(x)在x=-3处取得极值，那么实数
20、a=.3(2015陕西卷)函数f(x)=xex的图象在其极值点处的切线方程为.4若函数f(x)=-x3+mx2+1(m0)在(0，2)内的极大值为最大值，则实数m的取值范围是.5已知函数f(x)=x3-ax2+3ax+1在区间(-，+)内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是.6已知函数f(x)=x3+a2x2+ax+b，且当x=-1时，函数f(x)的极值为-，那么f(2)=.7(2015中华中学模拟)函数y=+(x(0，)的最小值为.8(2014厦门模拟)已知函数f(x)=，g(x)=，对任意的x1，x2(0，+)，不等式恒成立，则正数k的取值范围是.二、 解答题 9已知f(x)=al
21、n x+x+1，其中aR，曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值.10(2015如东中学模拟)已知f(x)=-x3+x2+2ax.(1)若f(x)在上存在单调增区间，求实数a的取值范围；(2)当0a2时，若f(x)在1，4上的最小值为-，求f(x)在该区间上的最大值.11(2014北京卷)已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间-2，1上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求实数t的取值范围.三、 选做题12已知定义在R上的函数f(x)=x2+x，g(x)=x3-2x+m.(1)求函数f(
22、x)的图象在x=1处的切线方程；(2)若f(x)g(x)对任意的x-4，4恒成立，求实数m的取值范围.【检测与评估答案】第18课利用导数研究函数的最(极)值1-【解析】因为f(x)=3x2+2ax+b，由题意知即解得或经检验，只有满足题意，故=-.2 5【解析】f(x)=3x2+2ax+3，当x=-3时，f(x)=0，所以a=53y=-【解析】f(x)=(1+x)ex，令f (x)=0，得x=-1，此时f(-1)=-，所以曲线f(x)=xex在其极值点处的切线方程为y=-.4 (0，3)【解析】f(x)=-3x2+2mx=x(-3x+2m).令f(x)=0，得x=0或x=.因为x(0，2)，所
23、以02，所以0m0，即a96【解析】f(x)=x2+2a2x+a，由题意得即解得或经验证，当时，f(x)在x=-1处没有极值，舍去，故f(x)=x3+x2-x-1，所以f(2)=.7【解析】令sin2x=t，由x(0，)知t(0，1，则函数y=+=-，所以y=-+=，当0t时，y0；当0.故当t=时，ymin=.81，+)【解析】因为k为正数，所以对任意的x1，x2(0，+)，不等式恒成立.令g(x)=0，即=0，得x=1当x(0，1)时，g(x)0；当x(1，+)时，g(x)0，所以=.令f(x)=0，即=0，得x=.当x时，f(x)0.所以=，所以.又k0，所以k19(1)f(x)=-+.
24、由于曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切线的斜率为0，即f(1)=0，从而a-+=0，解得a=-1(2)由(1)知f(x)=-ln x+x+1(x0)，f(x)=-+=.令f(x)=0，解得x=1当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=310(1)因为f(x)=-x3+x2+2ax，所以f(x)=-x2+x+2a.又f(x)在上存在单调增区间，所以f(x)0在上有解.又曲线f(x)=-x2+x+2a的对称轴方程为x=，所以f(x)在上单调递减，所以在上，f(x)0，即a.(2)f(x)=-x2+x+2a，当0a0，所以f(
25、x)=-x2+x+2a=0有两个不相等的实数根x1，x2，则x1=，x2=(舍去).由题知x1=1，4，所以当x(1，x1)时，f(x)0；当x(x1，4)时，f(x)0.所以当x=1或4时，f(x)取最小值.又f(1)=2a+，f(4)=8a-.因为a(0，2)，所以f(4)f(1)，所以f(x)min=f(4)=8a-=-，解得a=1，所以x1=2，f(x)max=f(2)=.11(1)因为f(x)=2x3-3x，所以f(x)=6x2-3令f(x)=0，得x=-或x=.因为f(-2)=-10，f=，f=-，f(1)=-1，所以f(x)在区间-2，1上的最大值为f=.(2)设过点P(1，t)
26、的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0，y0)，则y0=2-3x0，且切线斜率k=6-3，所以切线方程为y-y0=(6-3)(x-x0)，因此t-y0=(6-3)(1-x0)，整理得4-6+t+3=0.设g(x)=4x3-6x2+t+3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同的零点”.g(x)=12x2-12x=12x(x-1).当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表：x(-，0)0(0，1)1(1，+)g(x)+0-0+g(x)t+3t+1作出g(x)的大致图象(如图)，结合图象知，当g(x)有3个不同的零点时，有解得-3t-1故实数t的取值范围是(-3，-1).(第11题)12(1)因为f(x)=x2+x，所以当x=1时，f(1)=2因为f(x)=2x+1，则f(1)=3所以所求切线方程为y-2=3(x-1)，即3x-y-1=0.(2)令h(x)=g(x)-f(x)=x3-x2-3x+m，则h(x)=(x-3)(x+1).因此，当-4x0；当-1x3时，h(x)0；当3x0.要使f(x)g(x)恒成立，即h(x)max0.由以上分析知h(x)的最大值在x=-1或x=4处取得.又h(-1)=m+，h(4)=m-，所以h(x)max=m+.令m+0，得m-，所以实数m的取值范围是.
