1、第5讲指数与指数函数考试要求1.有理指数幂的含义及运算，B级要求；2.实数指数幂的意义，指数函数模型的实际背景，A级要求；3.指数函数的概念、图象与性质，B级要求知 识 梳 理1根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数(2)性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|2分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理指数幂的运算性质：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a0，b0，r，
2、sQ.3指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y1)的值域是(0，)()解析(1)由于4，故(1)错(2)(1)1，故(2)错(3)由于指数函数解析式为yax(a0，且a1)，故y2x1不是指数函数，故(3)错(4)由于x211，又a1，ax21a.故yax21(a1)的值域是a，)，故(4)错答案(1)(2)(3)(4)2(必修1P61例2改编)化简(2)6(1)0的结果为_解析原式(26)1817.答案73已知函数f(x)ax(0a0，则
3、0f(x)1；若x1；若f(x1)f(x2)，则x1x2.其中正确命题的个数为_解析结合指数函数图象可知正确答案34(2015江苏卷)不等式2x2x4的解集为_解析2x2x422，x2x2，即x2x20，解得1x2.原不等式的解集为(1,2)答案(1,2)5指数函数y(2a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是_解析由题意知02a1，解得1a0，b0)；(2) 10(2)1()0.解(1)原式ab1.(2)原式110(2)11010201.规律方法(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是
4、负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数【训练1】 化简求值：(1)022(0.01)0.5；解(1)原式111.(2)原式考点二指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f(x)1e|x|的图象大致是_(填序号)(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_解析(1)f(x)1e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|1，f(x)的值域为(，0，因此排除，只有满足(2)曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可知：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1答案(1)(2)1,1规
5、律方法(1)画(判断)指数函数yax(a0，a1)的图象，三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解【训练2】 (1)(2017福建五校联考改编)定义运算ab则函数f(x)12x的图象如图：其中正确的是_(填序号)(2)方程2x2x的解的个数是_解析(1)因为当x0时，2x1；当x0时，2x1.则f(x)12x图象满足(2)方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标
6、，分别作出这两个函数图象(如图)由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解答案(1)(2)1考点三指数函数的性质及应用(易错警示)【例3】 (1)下列各式：1.72.51.73；0.610.62；0.80.11.250.2；1.70.30.93.1.其中比较大小正确的是_(填序号)(2)已知函数f(x)ax24x3.若a1，求f(x)的单调区间；若f(x)有最大值3，求a的值；若f(x)的值域是(0，)，求a的值(1)解析中，函数y1.7x在R上是增函数，2.53，1.72.51.73，错误；中，y0.6x在R上是减函数，10.62，正确；中，(0.8)11.25，问题转化为比较1.250.1
7、与1.250.2的大小y1.25x在R上是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即0.80.11, 00.93.10.93.1，错误答案(2)解当a1时，f(x)x24x3，令ux24x3(x2)27.在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yu在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(2，)，递减区间是(，2)令h(x)ax24x3，yh(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.由f(x)的值域是(0，)知，ax24x3的值域为R，则必有a0
8、.规律方法(1)比较指数式的大小的方法是：能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论【训练3】 (1)(2015天津卷改编)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为_
9、(2)设函数f(x)则使得f(x)3成立的x的取值范围是_解析(1)由函数f(x)2|xm|1为偶函数，得m0，所以f(x)2|x|1，当x0时，f(x)为增函数，log0.53log23，所以log25|log23|0，所以bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0)，即bac.(2)当x8时，f(x)3，x27，即8x27；当x8时，f(x)2ex83恒成立，故x8.综上，x(，27答案(1)cab(2)(，27思想方法1根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算2判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数
10、的值再进行比较3指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0a1两种情况分类讨论易错防范1对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域2对可化为a2xbaxc0或a2xbaxc0(0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.0_.解析原式2.答案22已知正数a满足a22a30，函数f(x)ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系为_解析a22a30，a3或a1(舍)函数f(x)3x在R上递增，由f(m)f(n)，得mn.答案
11、mn3(2017衡水中学模拟改编)若ax，bx2，cx，则当x1时，a，b，c的大小关系是_(从小到大)解析当x1时，0ax1，cx0，所以cab.答案ca1，b1，b0；0a0；0a1，b0.其中判断正确的结论有_(填序号)解析由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b，b，ac，bca.答案bc0，且a1)，如果以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)f(x2)_.解析以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y
12、轴上，x1x20.又f(x)ax，f(x1)f(x2)ax1ax2ax1x2a01.答案17(2017南通调研)若函数f(x)a|2x4|(a0，且a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是_解析由f(1)，得a2，解得a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减答案2，)8(2017安徽江南十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值若f(x)maxe|x|，e|x2|，则f(x)的最小值为_解析f(x)当x1时，f(x)exe(x1时，取等号)，当xe，因此x1时，f(x)有最小值f(1)e
13、.答案e二、解答题9已知f(x)x3(a0，且a1)(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立解(1)由于ax10，则ax1，得x0，所以函数f(x)的定义域为x|x0对于定义域内任意x，有f(x)(x)3(x)3(x)3x3f(x)f(x)是偶函数(2)由(1)知f(x)为偶函数，只需讨论x0时的情况，当x0时，要使f(x)0，即x30，即0，即0，则ax1.又x0，a1.因此a1时，f(x)0.10已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t22t)f(2t21)0.解(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f
14、(0)0，即0，解得b1，所以f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.(2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(，)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t22t)f(2t21)0等价于f(t22t)2t21，即3t22t10，解不等式可得t1或t，故原不等式的解集为.能力提升题组(建议用时：20分钟)11若存在正数x使2x(xa)0，所以由2x(xa)xx，令f(x)xx，则函数f(x)在(0，)上是增函数，所以f(x)f(0)001，所以a1.答案(1，)12已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结
15、论：a0，b0，c0；a0；2a2c；2a2c2.其中一定成立的是_(填序号)解析作出函数f(x)|2x1|的图象如图中实线所示，abf(c)f(b)，结合图象知a0,0c1，02a1,12c2，f(a)|2a1|12af(c)，即12a2c1，2a2c0，且a1)对应的图象如图所示，那么g(x)_.解析依题意，f(1)，a，f(x)x，x0.当x0.g(x)f(x)x2x.答案2x(x0对任意xR都成立，f(x)在R上是增函数又f(x)的定义域为R，且f(x)exexf(x)，f(x)是奇函数(2)存在由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(xt)f(x2t2)0对一切xR都成立，f(x2t2)f(tx)对一切xR都成立，x2t2tx对一切xR都成立，t2tx2x2对一切xR都成立，t2t(x2x)mint2t20，又20，20，t.存在t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切xR都成立.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
