1、课时规范训练A组基础演练1用数学归纳法证明2n2n1,n的第一个取值应是()A1B2C3 D4解析:选C.当n1时,212,2113,2n2n1不成立;当n2时,224,2215,2n2n1不成立;当n3时,238,2317,2n2n1成立n的第一个取值应是3.2一个关于自然数n的命题,如果验证当n1时命题成立,并在假设当nk(k1且kN*)时命题成立的基础上,证明了当nk2时命题成立,那么综合上述,对于()A一切正整数命题成立 B一切正奇数命题成立C一切正偶数命题成立 D以上都不对解析:选B.n1为奇数,nk2为奇数故B项正确3用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立,其初始值至少应取()A7
2、 B8C9 D10解析:选B.当n8时,1.4在数列an中,a1,且Snn(2n1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为()A. B.C. D.解析:选C.当n2时,a2(23)a2,a2.当n3时,a3(35)a3,a3.故猜想an.5对于不等式n1(nN*),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n1时,11,不等式成立(2)假设当nk(kN*)时,不等式成立,即k1,则当nk1时,(k1)1.当nk1时,不等式成立,则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析:选D.在nk1时,没有应用nk时的假设,不是数学归纳法6用数学归
3、纳法证明“当n为正奇数时,xnyn能被xy整除”,当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时,进而需证n_时,命题亦真解析:因为n为正奇数,所以与2k1相邻的下一个奇数是2k1.答案:2k17已知数列an满足a11,an1an1(nN*),通过计算a1,a2,a3,a4,可猜想an_.解析:a11,a2a11,a3a21,a4a31.由此可猜想an.答案:8设数列an的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有:(Sn1)2anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn_.解析:由(S11)2S得:S1;由(S21)2(S2S1)S2得:S2;由(S31)2(S3S2)S3得:S3.由此可猜想Sn.答
4、案:9设数列an各项均为正数,且满足an1ana.求证:对一切n2,都有an.证明:数列an各项均为正数,且满足an1ana,a2a1a0,解得0a11.当n2时,a2a1a(a1)2,不等式成立,假设当nk(k2)时,不等式成立,即ak,则当nk1时,ak1aka22,当nk1时,不等式也成立,由数学归纳法知,对一切n2,都有an.10已知数列an满足a1a2,an(n2,nN*)(1)求证:对任意nN*,an2;(2)判断数列an的单调性,并说明理由解:(1)证明:用数学归纳法证明an2(nN*)当n1时,a1a2,结论成立;假设nk(k1)时结论成立,即ak2,则nk1时,ak12,所以
5、nk1时,结论也成立故由及数学归纳法原理,知对一切的nN*,都有an2成立(2)an是单调递减的数列因为aaan2a(an2)(an1),又an2,所以aa0,所以an1an.故an是单调递减的数列B组能力突破1用数学归纳法证明123n2,则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2解析:选D.等式左边是从1开始的连续自然数的和,直到n2.故nk1时,最后一项是(k1)2,而nk时,最后一项是k2,应加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.2用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”,利用归纳法假设证明n
6、k1时,只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析:选A.假设nk时,原式k3(k1)3(k2)3能被9整除,当nk1时,(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设,只须将(k3)3展开,让其出现k3即可3下列代数式(其中kN*)能被9整除的是()A667k B27k1C2(27k1) D3(27k)解析:选D.(1)当k1时,显然只有3(27k)能被9整除(2)假设当kn(nN*)时,命题成立,即3(27n)能被9整除,那么当kn1时有3(27n1)21(27n)36.这就是说,kn1时命题也成立由(1)(2)知,命题对kN*成立4求证:(n2)
7、证明:当n2时,左边0右边,不等式成立假设当nk(k2,kN*)时,不等式成立即成立,那么nk1时,当nk1时,不等式成立据可知,不等式对一切nN*且n2时恒成立5已知点Pn(an,bn)满足an1anbn1,bn1(nN*),且点P1的坐标为(1,1)(1)求过点P1,P2的直线l的方程;(2)试用数学归纳法证明:对于nN*,点Pn都在(1)中的直线l上解:(1)由题意得a11,b11,b2,a21,P2.直线l的方程为,即2xy1.(2)证明:当n1时,2a1b121(1)1成立假设nk(k1且kN*)时,2akbk1成立则2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1,当nk1时,2ak1bk11也成立由知,对于nN*,都有2anbn1,即点Pn在直线l上