1、1.6 微积分基本定理1微积分基本定理(1)定理内容：如果函数 f(x)是区间a，b上的_，并且 F(x)_，那么abf(x)dx_.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做_(2)定理的符号表示：abf(x)dxF(x)ba _.连续函数f(x)F(b)F(a)牛顿莱布尼茨公式F(b)F(a)2定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，在 x 轴下方的面积为S 下，则(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图 1，则abf(x)dx_.(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图 2，则abf(x)dx_.S 上S 下(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存
2、在时，如图3，则ab f(x)dx _，S上 S下 _，若 S 上S 下，则abf(x)dx _.图 1 图 2 图 3S 上S 下0bf(x)dxa0f(x)dx01由牛顿莱布尼茨公式，下列各式中正确的是()A.abF(x)dxF(b)F(a)B.abF(x)dxF(a)F(b)C.abF(x)dxF(b)F(a)D.abF(x)dxF(a)F(b)【答案】C2若定积分02(ax1)dx4，则实数 a 的值为()A1B2C3D4【答案】A3设函数 f(x)x2，x0，1，2x，x1，2，则02f(x)dx()A34B45C56D不存在【答案】C4已知函数 f(a)0asin xdx，则 ff
3、2 _.【答案】1cos 1利用微积分基本定理求定积分【例 1】求定积分49 x(1 x)dx.【解题探究】应用微积分基本定理求定积分【解析】因为23x32 12x2 x12 x，所以49 x(1 x)dx49(x12 x)dx23x32 12x29423932 129223432 124218812 163 82716.求函数在某区间上的定积分，要正确运用求导运算求原函数另外，要注意利用定积分的性质，这样会给求原函数带来方便1求下列定积分(1)02(3x24x3)dx；(2)ln 20 ex(1ex)dx；(3)2cos2x2dx；(4)02|x21|dx.【解析】(1)(x3x4)3x24
4、x3，023x24x3dxx3x4 202324024.(2)ex(1ex)exe2x，ex12e2x exe2x，ln 20 ex(1ex)dxln 20(exe2x)dxex12e2xln 20 eln 212e2ln 2e012e0212411252.(3)原式(1cos x)dx(xsin x)21.(4)原式01(1x2)dx12(x21)dxx13x3 1013x3x 212.定积分综合问题【例 2】已知函数 f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，f(1)2，01f(x)dx0，求函数 f(x)的解析式【解题探究】根据题中条件列出方程组进行求解【解析】设函数 f(x)ax2bx
5、c(a0)函数 f(x)的图象过点(1,0)，abc0.又 f(x)2axb 且 f(1)2，2ab2.又01f(x)dx01(ax2bxc)dx13ax312bx2cx 1013a12bc，13a12bc0.联立，得 a3，b4，c1.函数 f(x)3x24x1.（1）定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.（2）计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.2已知函数 f(a)01(2ax2a2x)dx，求函数 f(a)的最大值【解析】01(2ax2a2x)dx23ax312a2x210 23a12a2，f(a)23a12a212a243a49 2912a23229.当 a23时，函数 f(a)取得最大值，最大值为29.
