1、提升考能、阶段验收专练卷(三)数列、不等式、推理与证明(时间：65 分钟 满分：104 分).小题提速练(限时 45 分钟)(一)选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分)1若1a1b0，则下列结论不正确的是()Aa2b2 Babb2Cab|ab|解析：选 D 1a1b0，ba0.a2b2，abb2，ab0，|a|b|ab|.2(2016山西山大附中月考)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a2a46，则 S5 等于()A10 B12C15 D30解析：选 C 由等差中项可得 a2a4a1a5，所以 S55a1a5215.3一个由正数组成的等比数列，它的前 4 项和是前 2 项和的 5
2、倍，则此数列的公比为()A1 B2C3 D4解析：选 B 由题意知 an0，S45S2，显然公比 q1，且 q0，所以a11q41q5a11q21q，即 q45q240，解得 q24 或 q21(舍去)，又 q0，所以 q2.4等比数列an满足 an0，nN*，且 a3a2n322n(n2)，则当 n1 时，log2a1log2a2log2a2n1()An(2n1)B(n1)2Cn2D(n1)2解析：选 A 由等比数列的性质，得 a3a2n3a2n22n，从而得 an2n.法一：log2a1log2a2log2a2n1log2(a1a2n1)(a2a2n2)(an1an1)anlog22n(2
3、n1)n(2n1)法二：取 n1，log2a1log221，而(11)24，(11)20，排除 B，D；取 n2，log2a1log2a2log2a3log22log24log286，而 224，排除 C，选 A.5若关于 x 的不等式 x2ax6a0 有解且解的区间长度不超过 5 个单位长度，则 a的取值范围是()A25,1 B(，251，)C25,0)1,24)D25，24)(0,1解析：选 D 由 x2ax6a0 有解得 a224a0，由解的区间长度不超过 5 个单位长度，得 a224a5，由得25a24 或 0a1.6若正数 x，y 满足 4x29y23xy30，则 xy 的最大值是(
4、)A.43B.53C2 D.54解析：选 C 由 x0，y0，得 4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当 2x3y 时等号成立)，12xy3xy30，即 xy2，xy 的最大值为 2.7(2016长春质量检测)若等差数列an前 n 项和 Sn 有最大值，且a11a121，则当 Sn 取最大值时，n 的值为()A10 B11C12 D13解析：选 B 由等差数列的前 n 项和有最大值，可知 d0，再由a11a121，知 a110，a120，从而使 Sn 取最大值的 n11.8(2016兰州诊断)已知不等式组xy1，xy1，y0所表示的平面区域为 D，若直线 ykx3 与平面区域 D
5、 有公共点，则 k 的取值范围为()A3,3B.，13 13，C(，33，)D.13，13解析：选 C 满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示因为直线 ykx3 过定点(0，3)，所以当 ykx3 过点 C(1,0)时，k3；当 ykx3 过点B(1,0)时，k3，所以 k3 或 k3 时，直线 ykx3 与平面区域 D 有公共点9已知数列an满足 an112 ana2n，且 a112，则该数列的前 2 016 项的和等于()A1 509 B3 018C1 512 D2 016解析：选 C 因为 a112，又 an112 ana2n，所以 a21，从而 a312，a41，即得 an12，n2
6、k1kN*，1，n2kkN*，故数列的前 2 016 项的和等于S2 0161 0081121 512.10(2016上饶六校一联)观察下列各式：322723 27，33 32633326，34 46343463，若399m93 9m，则 m()A80B81C728 D729解析：选 C 由于322723 27可改写为322231232231；33 32633326可改写为333331333331；34 46343463可改写为344431434431，由此可归纳出：399m93 9m中，m9317291728.11已知函数 f(x)(ax1)(xb)，如果不等式 f(x)0 的解集是(1,3
7、)，则不等式 f(2x)0 的解集是()A.，3212，B.32，12C.，1232，D.12，32解析：选 A 由 f(x)0，得 ax2(ab1)xb0，又其解集是(1,3)，a0，且1aba2，ba3，解得 a1 或 a13(舍去)，a1，b3，f(x)x22x3，f(2x)4x24x3，由4x24x30，得 4x24x30，解得 x12，或 x32.12设点 P(x，y)满足xy30，xy10，x1，y1，则yxxy的取值范围是()A.32，B.32，32C.32，1D1,1解析：选 B 不等式组xy30，xy10，x1，y1表示的平面区域如图阴影部分所示，令 tyx，则yxxyt1t
8、，根据 t 的几何意义，t 值为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，显然 OA 的斜率最小，OB 的斜率最大，即12t2.由于函数 f(t)t1t在12，2 上单调递增，故32f(t)32.所以yxxy的取值范围是32，32.(二)填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分)13(2015全国卷)设 Sn 是数列an的前 n 项和，且 a11，an1SnSn1，则 Sn_.解析：an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1Sn 1Sn11，即 1Sn1 1Sn1.又 1S11，1Sn 是首项为1，公差为1 的等差数列 1Sn1(n1)(1)n，Sn1n.答案：1n14已知
9、等差数列an中，有a11a12a2010a1a2a3030，则在等比数列bn中，会有类似的结论：_.解析：由等比数列的性质可知 b1b30b2b29b11b20，10b11b12b2030b1b2b30.答案：10b11b12b2030b1b2b3015(2016济南实验中学调研)观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第 n 个等式为_解析：观察这些等式，第一个等式左边 1 个数，从 1 开始；第二个等式左边 3 个数相加，从 2 开始；第三个等式左边 5 个数相加，从 3 开始；第 n 个等式左边是 2n1 个数相加，从 n 开始等式的右边为左边 2n1 个数的
10、中间数的平方，故第 n 个等式为 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)216(2016洛阳一测)若关于 x 的不等式 ax2|x|2a0 的解集为空集，则实数 a 的取值范围为_解析：当 a0 时，不等式为|x|0，令 t|x|，则原不等式等价于 at2t2a0(t0)，所以 a0 的解集为(1,3)时，求实数 a，b 的值；(2)若对任意实数 a，f(2)0，即3x2a(5a)xb0，3x2a(5a)xb0，3a5ab0，273a5ab0，解得a2，b9或a3，b9.(2)f(2)0，即122a(5a)b0 对任意实数 a 恒成立，1008(
11、12b)0，b3)，Sn100，则 n 的值为()A8 B9C10 D11解析：选 C 由 SnSn351 得，an2an1an51，所以 an117，又 a23，Snna2an12100，解得 n10.2(2016邢台摸底)已知数列an为等比数列，a51，a981，则 a7()A9 或9 B9C27 或27 D27解析：选 B 依题意得 a27a5a981，又注意到a7a5q20(其中 q 为公比)，因此 a5，a7的符号相同，故 a79，选 B.3(2016郑州联考)已知 a，b，cR，给出下列命题：若 ab，则 ac2bc2；若 ab0，则abba2；若 a|b|，则 a2b2.其中真命
12、题的个数为()A3 B2C1 D0解析：选 C 当 c0 时，ac2bc20，故为假命题；当 a 与 b 异号时，ab0，ba0，abba2，故为假命题；因为 a|b|0，所以 a2b2，故为真命题4(2016洛阳统考)设等比数列an的公比为 q，则“0q1”是“an是递减数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 D an1ana1qna1qn1a1qn1(q1)，而 a1 的正负性未定，故无法判断数列an的单调性，因此“0q1”是“an是递减数列”的既不充分也不必要条件5(2016焦作一模)在正项等比数列an中，lg a3lg a6lg a96，则
13、 a1a11 的值是()A10 000 B1 000C100 D10解析：选 A 正项等比数列an中，lg a3lg a6lg a96，由对数运算法则及等比数列的性质，有 lg a3a6a96，a3a6a9106，a36106，a6100，a1a11a26100210 000.6(2015秦岭一模)不等式|x22|2 的解集是()A(1,1)B(2,2)C(1,0)(0,1)D(2,0)(0,2)解析：选 D|x22|2，2x222，0 x24.2x0 或 0 x2.7(2015山西山大附中一模)数列an满足 a11，且对于任意的 nN*都有 an1a1ann，则1a1 1a2 1a2 015
14、等于()A.2 0142 016B.4 0302 016C.4 0282 016D.2 0152 016解析：选 B 因为 an1a1ann1ann，所以 an1ann1，采用叠加法可得 ana1(a2a1)(anan1)12nnn12，所以 1an2nn121n 1n1，所以 1a1 1a2 1a2 01521121213131412 01512 0162112 0164 0302 016.8已知不等式(xy)1xay9对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a的最小值是()A2 B4C6 D8解析：选 B(xy)1xay1ayxaxy 1a2 a，当 1a2 a9 时不等式恒成立，故 a1
15、3，a4.9已知 x，y，k 满足xy50，x3，xyk0，且 z2x4y 的最小值为6，则常数 k 等于()A2 B9C3 10D0解析：选 D 如图所示，当直线 z2x4y 经过两直线 x3 和 xyk0 的交点时，z 有最小值6，所以6234y，y3，将 x3，y3 代入 xyk0，得 k0(经检验满足题意)10(2016洛阳统考)已知不等式组xy2，x0，ym表示的平面区域的面积为 2，则xy2x1的最小值为()A.32B.43C2 D4解析：选 B 画出不等式组所表示的平面区域，由区域面积为2，可得 m0.而xy2x1 1y1x1，y1x1表示可行域内任意一点与点(1，1)连线的斜率
16、，y1x1的最小值为012113，xy2x1的最小值是43.11已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第 60 个“整数对”是()A(7,5)B(5,7)C(2,10)D(10,1)解析：选 B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第 n 组中每个“整数对”的和均为 n1，且第 n 组共有 n 个“整数对”，这样的前 n 组一共有nn12个“整数对”，注意到10101260111112，因此第 60 个“整数对”处于第 11 组(每个“整数对”的和为 12 的组)的
17、第 5 个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为 12 的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第 60 个“整数对”是(5,7)12(2015南昌调研)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，则下列说法中一定成立的是()A若 a30，则 a2 0150，则 a2 0140，则 S2 0150 D若 a40，则 S2 0140解析：选 C 等比数列an的公比 q0.对于 A，若 a30，则 a1q20，所以 a10，所以a2 015a1q2 0140，所以 A 不正确；对于 B，若 a40，则 a1q30，所以 a1q0，所以 a2 014a1
18、q2 0130，所以 B 不正确；对于 C，若 a30，则 a1a3q20，所以当 q1 时，S2 0150，当 q1时，S2 015a11q2 0151q0(1q 与 1q2 015 同号)，所以 C 正确，同理可知 D 错误(二)填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分)13(2016南通一模)在平面上，若两个正三角形的边长的比为 12，则它们的面积比为 14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积比为_解析：由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的底面积之比为 14，对应高之比为 12，所以体积比为 18.答
19、案：1814(2016邵阳一模)设OA(1，2)，OB(a，1)，OC(b,0)(a0，b0，O为坐标原点)，若 A，B，C 三点共线，则1a2b的最小值是_解析：易知 AB(a1,1)，AC(b1,2)因为 A，B，C 三点共线，所以 2(a1)(b1)0，即 2ab1.又 a0，b0，所以1a2b1a2b(2ab)4ba4ab 448，当且仅当 a14，b12时，等号成立答案：815某种产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y3 00020 x0.1x2，x(0,240)，若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本时的最低产量是_台解析：由题意知 3 00020
20、x0.1x225x0，即 0.1x25x3 0000，x250 x30 0000，(x150)(x200)0.又 x(0,240)，150 x240，即生产者不亏本时的最低产量为 150 台答案：15016(2015杭州二检)若不等式(2)na3n1(2)n0 对任意正整数 n 恒成立，则实数a 的取值范围是_解析：原不等式可转化为 3(a1)(2)n3n.因为 nN*，所以当 n 为奇数时，不等式可转化为 3(1a)32n，所以有 3(1a)12；当 n 为偶数时，不等式可转化为 3(a1)32n，所以 3(a1)94，得 a74.综上可知12a74.答案：12，74 .大题规范练(限时 2
21、0 分钟)17（本小题满分 12 分）(2016贵州七校一联)已知an是等差数列，bn是等比数列，Sn 为数列an的前 n 项和，a1b11，且 b3S336，b2S28(nN*)(1)求 an 和 bn；(2)若 anan1，求数列1anan1的前 n 项和 Tn.解：(1)设 an 的公差为 d，bn 的公比为 q.由题意得q233d36，q2d8.解得d2，q2或d23，q6.an2n1，bn2n1或an1352n，bn6n1.(2)若 anan1，由(1)知 an2n1，1anan112n12n11212n112n1，Tn12113131512n112n1n2n1.18（本小题满分 1
22、2 分）已知 f(x)x2pxq，其中 p0，q0.(1)当 pq 时，证明：fqp fpq；(2)若 f(x)0 在区间(0,1)，(1,2)内各有一个根，求 pq 的取值范围；(3)设数列an的首项 a11，前 n 项和 Snf(n)，nN*，求数列an的通项公式解：(1)fqp q2pqqpq2qpq，fpq p2p2qq1，fqp fpq q2qpq1q1qpp，pq0，q1qpp0，即fqp fpq 0，fqp fpq.(2)由题意得f00，f10，f20，即q0，1pq0，42pq0.又 p0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示由线性规划的知识可知，1pq5.故 pq 的取值范围为(1,5)(3)由题意可知，Snf(n)n2pnq，nN*.当 n1 时，a1S11pq1，pq.当 n2 时，anSnSn1(n2pnp)(n1)2p(n1)p2np1，an1，n1，2np1，n2.
