1、基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017台州统考)已知向量a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且ab，则实数m的值等于()A. B.2 C.0 D.或2解析ab，解得m2.答案B2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A. B.C. D.解析如图，设正方体棱长为2，则易得(2，2，1)，(2，2，1)，cos，sin，.答案B3.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么()A.B.C.D.与的大小不能比较解析取BD的中点F，连接EF，则EF綉CD，因为，90，因为0，0，所以.答案C4.已知向量
2、a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A.1 B. C. D.解析由题意得，kab(k1，k，2)，2ab(3，2，2).所以(kab)(2ab)3(k1)2k225k70，解得k.答案D5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2解析如图，设a，b，c，则|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60.(ab)，c，(ab)c(acbc)(a2cos 60a2cos 60)a2.答案C二、填空题6.已知2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，ac4，|b|
3、12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为_.解析由题意得，(2ab)c0102010.即2acbc10，又ac4，bc18，cosb，c，b，c120，两直线的夹角为60.答案607.(2017宁波十校联考)已知a(2，1，3)，b(1，2，1)，a与b夹角的余弦值为_；若a(ab)，则_.解析a(2，1，3)，b(1，2，1)，cosa，b；由题意a(ab)0，即a2ab0，又a214，ab7，1470，2.答案28.(2017北京顺义一模)设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使0成立的点M的个数有_.解析设M(a，b，c)，Ak(xk，yk，zk)(k1，2，3，
4、4，5).则(xka，ykb，zkc)，由0得存在唯一点M.答案1三、解答题9.已知空间中三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c.(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.解(1)c，(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，cmm(2，1，2)(2m，m，2m)，|c|3|m|3，m1.c(2，1，2)或(2，1，2).(2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.10.如图所示，在平面角为120的二面角AB中，AC，BD，且ACAB，
5、BDAB，垂足分别为A，B.已知ACABBD6，求线段CD的长.解ACAB，BDAB，0，0.二面角AB的平面角为120，18012060，CD22()2222222362262cos 60144，CD12.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.在空间四边形ABCD中，()A.1 B.0 C.1 D.不确定解析如图，令a，b，c，则a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.答案B12.若a，b，c是空间的一个基底，且向量pxaybzc，则(x，y，z)叫向量p在基底a，b，c下的坐标.已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向量p在基底a，b，c下
6、的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标是()A.(4，0，3) B.(3，1，3)C.(1，2，3) D.(2，1，3)解析设p在基底ab，ab，c下的坐标为x，y，z.则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，因为p在a，b，c下的坐标为(4，2，3)，p4a2b3c，由得即p在ab，ab，c下的坐标为(3，1，3).答案B13.(2017郑州调研)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，的坐标是_.解析点Q在直线OP上，设点Q(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)，
7、(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106.即当时，取得最小值.此时.答案14.如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0xa，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1FC1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：.(1)解E(a，x，0)，F(ax，a，0).(2)证明A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，axa(xa)a20，A1FC1E.(3)证明A1，E，F，C1四点共面，共面.选与为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.15.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)；(2)EG的长；(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值.解设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)ca，a，bc，(a)a2ac，(2)abacb abc，|2a2b2c2abbcca，则|.(3)bc，ba，cos，由于异面直线所成角的范围是，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
