1、第六章 圆第三节与圆有关的计算考 点 帮考点梳理易错自纠易错点1混淆弧长公式和扇形面积公式而出错1.已知一个扇形的半径为6,弧长为2,则这个扇形的圆心角为(B)A.30B.60C.90D.1202.已知一半径为4的扇形的圆心角为120,则该扇形的面积是163.易错点2不能通过割补法计算不规则图形的面积3.如图,已知半圆O的直径AB=4,点C在半圆上,以点A为圆心、AC长为半径画弧交AB于点D,连接BC.若ABC=60,则图中阴影部分的面积为23-.(结果不取近似值)(第3题)(第4题)易错点3未能结合折叠找到隐含的线段、角度之间的关系4.2019山东泰安如图,将O沿弦AB折叠,AB恰好经过圆心
2、O,若O的半径为3,则AB的长为(C)A.12B.C.2D.3方 法 帮提分特训1.2020内蒙古包头如图,AB是O的直径,CD是弦,点C,D在直径AB的两侧.若AOCAODDOB=2711,CD=4,则CD的长为(D)A.2B.4C.22D.22.2020四川达州如图,在半径为5的O中,将劣弧AB沿弦AB翻折,使折叠后的AB恰好与OA,OB相切,则劣弧AB的长为(B)A.53B.52C.54D.56(第2题)(第3题)3.2020贵州毕节如图,已知点C,D是以AB为直径的半圆的三等分点,CD的长为13,则图中阴影部分的面积为(A)A.16B.316C.124D.112+344.2020江苏无
3、锡已知圆锥的底面半径为1cm,高为3cm,则它的侧面展开图的面积为2cm2.5.2020合肥瑶海区一模如图,正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE,OF和EF上,且点A是线段OB的中点.若EF的长为5,则OD的长为42.6.2020合肥蜀山区模拟如图,四边形ABCD内接于O,AC为直径,点D为ACB的中点,过点D作O的切线与BC的延长线交于点E.(1)用尺规作图,作出圆心O;(保留作图痕迹,不写作法)(2)求证:DEBC;(3)若OC=2CE=4,求图中阴影部分的面积.(1)圆心O如图所示.(方法不唯一,正确即可)(2)证明:如图,连接DO并延长交AB于点F.DE是O的切线,EDF
4、=90.AC是O的直径,B=90.点D是优弧AB的中点,DFAB,DFB=90,四边形DEBF为矩形,DEB=90,DEBC.(3)如图,过点C作CGDO于点G,则四边形DECG是矩形.2CE=4,DG=CE=2,OG=OD-DG=4-2=2,CG垂直平分OD,CD=OC=OD,CDO是等边三角形,COD=60,S阴影=S扇形COD-SCOD=6042360-12423=83-43.真 题 帮考法与弧长有关的计算(10年4考)1.2011安徽,7如图,O的半径是1,A,B,C是圆周上的三点,BAC=36,则劣弧BC的长是(B)A.5B.25C.35D.45(第1题)(第2题)2.2017安徽,
5、13如图,已知等边三角形ABC的边长为6,以AB为直径的O与边AC,BC分别交于D,E两点,则劣弧DE的长为.3.2016安徽,13如图,已知O的半径为2,A为O外一点.过点A作O的一条切线AB,切点是点B.AO的延长线交O于点C.若BAC=30,则劣弧BC的长为43.(第3题)(第4题)4.2015安徽,12如图,点A,B,C在O上,O的半径为9,AB的长为2,则ACB的大小是20.作 业 帮基础分点练(建议用时:50分钟)考点1弧长与扇形面积的计算1.2020四川南充如图,四个三角形拼成一个风车图形,若AB=2,风车转动90,则点B运动路径的长度为(A)A.B.2C.3D.4(第1题)(第
6、2题)2.2019青海如图,在扇形AOB中,AC为弦,AOB=140,CAO=60,OA=6,则BC的长为(B)A.43B.83C.23D.23.2020湖南株洲如图所示,点A,B,C对应的刻度分别为0,2,4,将线段CA绕点C按顺时针方向旋转,当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时,记为点A1,则此时线段CA扫过的图形的面积为(D)A.4B.6C.43D.834.2020辽宁沈阳如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以点A为圆心、AD长为半径画弧交边BC于点E,连接AE,则DE的长为(C)A.43B.C.23D.3(第4题)(第5题)(第6题)5.2020四川宜宾如图,AB是O的直径,
7、点C是圆上一点,连接AC和BC,过点C作CDAB于点D,且CD=4,BD=3,则O的周长是(A)A.253B.503C.6259D.625366.2020湖南益阳小明家有一个如图所示的闹钟,他观察发现圆心角AOB=90,测得ACB的长为36cm,则ADB的长为12cm.7.2020黑龙江哈尔滨一个扇形的面积是13cm2,半径是6cm,则此扇形的圆心角是130.8.2019安庆模拟如图,ABC内接于O,AB为O的直径,AB=6,D为O上一点,且ADC=30,则劣弧BC的长为2.(第8题)(第9题)9.2020湖南娄底如图,公路弯道标志R=m表示圆弧道路所在圆的半径为m(米).某车在标有R=300
8、处的弯道上从点A行驶了100米到达点B,则线段AB=300米.10.2019合肥瑶海区二模如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=2,E为BC的中点,AF=1,以EF为直径的半圆与DE交于点G,则GE的长为54.(第10题)(第11题)11.2020吉林如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.筝形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.以点B为圆心、BO长为半径画弧,分别交AB,BC于点E,F.若ABD=ACD=30,AD=1,则EF的长为2(结果保留).考点2圆柱、圆锥的有关计算12.2020湖北潜江一个圆锥的底面半径是4cm,其侧面展开
9、图的圆心角是120,则圆锥的母线长是(B)A.8cmB.12cmC.16cmD.24cm13.2019合肥蜀山区一模如图是一个几何体的三视图,根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是(B)A.12B.6C.12+D.6+14.2020云南如图,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心、AD长为半径画圆弧DE得到扇形DAE(阴影部分,点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是(D)A.2B.1C.22D.12考点3阴影部分面积的计算15.2020湖北咸宁如图,在O中,OA=2,C=45,则图中阴影部分的面积为(D)A.2-2B.-2C.2-2D.-2(第
10、15题)(第16题)16.2020山东聊城如图,AB是O的直径,弦CDAB,垂足为点M,连接OC,DB.如果OCDB,OC=23,那么图中阴影部分的面积是(B)A.B.2C.3D.417.2020江苏苏州如图,在扇形OAB中,已知AOB=90,OA=2,过AB的中点C作CDOA,CEOB,垂足分别为D,E,则图中阴影部分的面积为(B)A.-1B.2-1C.-12D.2-1218.2020山西中国美食讲究色香味美,优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花,图(1)中的摆盘,其形状是扇形的一部分,图(2)是其几何示意图(阴影部分为摆盘),通过测量得到AC=BD=12cm,C,D两点之间的距离为4cm,圆心
11、角为60,则摆盘的面积是(B)图(1)图(2)A.80cm2B.40cm2C.24cm2D.2cm219.2020湖北十堰如图,在圆心角为90的扇形ACB内,以BC为直径作半圆,连接AB.若阴影部分的面积为-1,则AC=2.(第19题)(第20题)20.2020贵州黔西南州如图,在ABC中,CA=CB,ACB=90,AB=2,点D为AB的中点,以点D为圆心作圆心角为90的扇形DEF,点C恰在EF上,则图中阴影部分的面积为4-12.21.2020辽宁抚顺如图,在平行四边形ABCD中,AC是对角线,CAB=90,以点A为圆心、AB的长为半径作A,交BC边于点E,交AC于点F,连接DE.(1)求证:
12、DE与A相切;(2)若ABC=60,AB=4,求阴影部分的面积.(1)证明:如图,连接AE.四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,ADBC,DAE=AEB.AE=AB,AEB=ABC,DAE=ABC,AEDBAC,DEA=CAB.CAB=90,DEA=90,DEAE.又AE是A的半径,DE与A相切.(2)解:如图,ABC=60,AB=AE,ABE是等边三角形,AE=BE,EAB=60.CAB=90,CAE=90-EAB=90-60=30,ACB=90-ABC=90-60=30,CAE=ACB,AE=CE,CE=BE,SACE=SABE=12SABC.在RtABC中,CAB=90,ABC=60
13、,AB=4,AC=ABtanABC=4tan60=43,SABC=12ABAC=12443=83,SACE=12SABC=1283=43.CAE=30,AE=4,S扇形AEF=30AE2360=3042360=43,S阴影=SACE-S扇形AEF=43-43.全国视野创新练1.新考法2020四川乐山在ABC中,已知ABC=90,BAC=30,BC=1.如图所示,将ABC绕点A按逆时针方向旋转90后得到ABC.则图中阴影部分的面积为(B)A.4B.-32C.-34D.32(第1题)(第2题)2.规律型2020山东潍坊如图,四边形ABCD是正方形,曲线DA1B1C1D1A2是由一段段90度的弧组成
14、的.其中:DA1的圆心为点A,半径为AD;A1B1的圆心为点B,半径为BA1;B1C1的圆心为点C,半径为CB1;C1D1的圆心为点D,半径为DC1DA1,A1B1,B1C1,C1D1,的圆心依次按点A,B,C,D循环.若正方形ABCD的边长为1,则 A2020B2020的长是4039.参考答案第三节与圆有关的计算【易错自纠】1.B设这个扇形的圆心角为n,则n6180=2,解得n=60,故选B.2.163该扇形的面积为12042360=163.3.23-AB是半圆O的直径,ACB=90.在RtABC中,AB=4,ABC=60,BC=12AB=2,AC=23,CAB=30,SABC=12ACBC
15、=12232=23,S扇形ACD=30360AC2=112(23)2=,S阴影=SABC-S扇形ACD=23-.4.C如图,连接OA,OB,过点O作ODAB于点D,交AB下方劣弧AB于点E,由题意可知OD=DE=12OE=12OA.在RtAOD中,sinOAD=ODOA=12,OAD=30.又OA=OB,OBA=30,AOB=120,AB的长为1203180=2.故选C.提分特训1.DAOCAODDOB=2711,AOD+DOB=180,AOD=77+11180=70,COA=20,COD=COA+AOD=90.又OD=OC,CD=4,OC=OD=22,lCD=9022180=2.2.B如图,
16、设折叠后的AB所在的圆为O,由题易知O与O关于直线AB对称.连接OA,OB,易得OA=OB=OA=OB.OA,OB恰好与折叠后的AB相切,OAOA,OBOB,四边形OAOB是正方形,则AOB=90,劣弧AB的长为905180=52.故选B.3.A如图,连接CD,OC,OD.点C,D是以AB为直径的半圆的三等分点,AOC=COD=DOB=60.又OA=OC=OD,OAC,OCD是等边三角形,OCD=60=AOC,CDAB,SACD=SOCD.设半圆O的半径为r.CD的长为13,60r180=13,r=1,S阴影=S扇形COD=6012360=6,故选A.4.2依题意可知圆锥的底面周长为2cm,即
17、侧面展开图扇形的弧长为2cm.又圆锥的母线长为12+(3)2=2(cm),所以该圆锥侧面展开图的面积为1222=2(cm2).5.42四边形ABCD为正方形,点A为OB的中点,AD=AB=OA,DAB=90,OAD=90,AOD是等腰直角三角形,故EOF=45,lEF=45OE180=5,OE=45.连接OC,如图,在RtOBC中,OC=45=OB2+BC2=5OA2=5OA,OA=4,OD=42.6.略1.B连接OC,OB.BOC=2BAC=72,劣弧BC的长为721180=25.2.如图,连接OD,OE.AB是O的直径,AB=6,O的半径为3.ABC是等边三角形,A=B=60.OB=OE,
18、OA=OD,BOE和AOD均为等边三角形,BOE=60,AOD=60,DOE=180-60-60=60,故劣弧DE的长为603180=.3.43连接OB.根据切线的性质可知,ABO=90,则BOC=A+ABO=30+90=120.根据弧长公式可得=1202180=43.4.20连接OA,OB,设AOB=n.根据弧长公式可得lAB=n9180=2,解得n=40,即AOB=40,ACB=12AOB=20.基础分点练1.A当风车转动90时,B点的运动路径是以A为圆心、2为半径的圆弧,因此B点运动路径的长度为902180=,故选A.2.B如图,连接OC,OA=OC,CAO=60,AOC为等边三角形,A
19、OC=60,BOC=AOB-AOC=140-60=80,lBC=806180=83.故选B.3.D由旋转的性质可知CA1=CA=2BC=4,又A1BC=90,BCA1=60,线段CA扫过的图形的面积为6036042=83.4.C四边形ABCD是矩形,AD=BC=2,B=90,AE=AD=2.又AB=3,cosBAE=32,BAE=30,EAD=60,DE的长为602180=23,故选C.5.A方法一:AB是O的直径,ACB=90.CDAB,CD=4,BD=3,BC=CD2+BD2=5,cosB=35,AB=BCcosB=253,O的周长为253,故选A.方法二:AB是O的直径,ACB=90,即
20、ACD+BCD=90.CDAB,BCD+DBC=90,ACD=DBC.又ADC=BDC=90,ADCCDB,ADCD=CDBD.CD=4,BD=3,AD=163,AB=AD+BD=253,O的周长为253.故选A.6.12ACB与ADB所对应的圆心角的度数的比为27090=31,故其弧长比为31,故ADB的长为363=12(cm).7.130设扇形的圆心角为n,依题意得n62360=13,解得n=130.8.2连接OC,由圆周角定理可得AOC=2ADC=60,BOC=180-AOC=120,故劣弧BC的长为1203606=2.9.300如图,设圆弧道路所在圆的圆心为O,线段AB对应的圆心角的度
21、数为n,n300180=100,n=60.又AO=BO,AOB是等边三角形,AB=AO=300(米).10.54如图,设EF中点为O,连接DF,OG,易知AF=BE=1,AD=BF=2,EF=BF2+BE2=5.又A=B=90,ADFBFE,DF=EF,AFD=BEF,AFD+BFE=BEF+BFE=90,DFE=90,故DFE是等腰直角三角形,DEF=45.OG=OE,OGE=OEG=45,EOG=90,GE的长为9018052=54.11.2在ABD和CBD中,AB=CB,AD=CD,BD=BD,ABDCBD,ABD=CBD=30,ADB=CDB,CD=AD=1,ABC=60.AD=CD,
22、ADB=CDB,BDAC,ACB=90-30=60,BCD=ACB+ACD=90.在RtBCD中,CBD=30,BD=2CD=2.在RtCOD中,OCD=30,OD=12CD=12,OB=BD-OD=2-12=32,EF的长为6032180=2.12.B圆锥的底面周长=24=8,所以侧面展开图的弧长为8,则圆锥母线长=1808120=12(cm),故选B.13.B由题中三视图可知该几何体是圆柱,其侧面展开图是矩形.由题意可知矩形的长和宽分别为2,3,故该几何体的侧面积是6.14.D设圆锥的底面圆的半径为r,根据题意可知,AE=AD=4,DAE=45,底面圆的周长等于弧DE的长,所以2r=454
23、180,解得r=12.15.DC=45,AOB=90.OB=OA=2,S阴影=S扇形OAB-SOAB=9022360-1222=-2.故选D.16.BCDAB,DM=CM.OCBD,COM=DBM,又CMO=DMB,CMODMB,OM=MB=12OC,cosCOM=12,COM=60,S阴影部分=S扇形COB=60(23)2360=2,故选B.17.B如图,连接OC.点C是AB的中点,AOC=BOC.CDOA,CEOB,CDO=CEO=90,CD=CE.又AOB=90,四边形CDOE是正方形,OD=22OC=1,S阴影=S扇形AOB-S正方形CDOE=90360(2)2-11=2-1.18.B
24、连接CD,则CD=4cm.OA=OB,AC=BD,OC=OD.又AOB=60,COD为等边三角形,OC=4cm,OA=12+4=16(cm),摆盘的面积是S扇形AOB-S扇形COD=60360(162-42)=40(cm2).故选B.19.2如图,设AB交半圆于点D,连接DC.ACB=90,ABC为等腰直角三角形.BC为半圆BC的直径,CDB=90,即CDAB,CD=DB=DA,点D为BC的中点.由对称性可知S弓形BD=S弓形CD.设AC=BC=x,则S阴影=S扇形ACB-SACD=x24-x24.又S阴影=-1,x24-x24=-1,解得x=2(负值不合题意,已舍去),即AC=2.20.4-
25、12如图,连接CD,CA=CB,ACB=90,点D为AB的中点,CDAB,B=DCH=45,DC=DB=12AB=1,扇形FDE的面积是9012360=4,CDB=90=EDF,BDG=CDH,DBGDCH,S阴影部分=S扇形FDE-SDCH-SDCG=S扇形FDE-SDBG-SDCG=S扇形FDE-SDBC=4-12.21.略全国视野创新练1.B设AC,BB交于点D.在ABC中,BAC=30,AC=2BC=2,AB=AC2-BC2=3.ABC绕点A按逆时针方向旋转90后得到ABC,AB=AB=3,BC=BC=1,BAC=BAC=30,CAC=90,CAB=60,S阴影=S扇形CAC-SABC-S扇形DAB=9022360-1231-60(3)2360=-32.故选B.2.4039易知BB1=2,BB2=6=4+2,BB3=10=42+2,BB4=14=43+2,BBn=4(n-1)+2.观察题图可知A2020B2020的半径为BB2020,BB2020=4(2020-1)+2=8078,A2020B2020的长=901808078=4039.
