1、第三章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在平行六面体ABCD-EFGH中,若AG=2xAB+3yBC+3zHD,则x+y+z等于()A.76B.23C.56D.12解析:因为AG=AB+BC+DH,所以2x=1,3y=1,3z=-1,则x=12,y=13,z=-13,故x+y+z=12.答案:D2已知点A(1,2,-1)关于平面xOy的对称点为B,而点B关于x轴的对称点为C,则BC等于()A.(0,4,2)B.(0,-4,-2)C.(0,4,0)D.(2,0,-2)解析:B(1,2
2、,1),C(1,-2,-1),BC=(0,-4,-2).答案:B3以下四组向量中,互相平行的组数为()a=(2,2,1),b=(3,-2,-2)a=(8,4,-6),b=(4,2,-3)a=(0,-1,1),b=(0,3,-3)a=(-3,2,0),b=(4,-3,3)A.1B.2C.3D.4解析:中,a=2b,ab;中,a=-13b,ab;而中的向量不平行.答案:B4已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面过直线l与点M(1,2,3),则平面的法向量不可能是()A.(1,-4,2)B.14,-1,12C.-14,1,-12D.(0,-1,1)解析:设平面的法向量为
3、n,依题意必有na,nPM,而PM=(0,2,4),所以只有D项不符.答案:D5把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60的二面角,则点A到BC的距离是()A.aB.62aC.33aD.154a解析:取BC中点E,则AEBC,即AE为A到BC的距离,AE=AC2-CE2=154a.答案:D6已知点A(-1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),则sin等于()A.-23B.23C.53D.-53解析:AB=(1,0,0),CD=(-2,-2,1),所以cos=ABCD|AB|CD|=-213=-230.所以2,.故sin=1-cos2=1-232=53.答案:C7在
4、正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.23B.33C.23D.63解析:不妨设正方体的棱长为1,如图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的法向量为DB1=(1,1,1).又BB1=(0,0,1),则cos=DB1BB1|DB1|BB1|=131=33.故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为1-332=63.答案:D8在如图所示的几何体ABCDE中,DA平面EAB,CBDA,EA=AB=DA=2CB,EAAB,M是EC的中点,则下述结论成立的是()A.DMEBB.DMECC.DMBMD.DMBA解析:
5、以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,设EA=DA=AB=2CB=2,则A(0,0,0),E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,1),D(0,0,2),M1,1,12,DM=1,1,-32,EB=(-2,2,0),EC=(-2,2,1),BM=1,-1,12,AB=(0,2,0),仅有DMEB=0,从而得DMEB,故选A.答案:A9如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AB=BC=AA1,ABC=90,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1的夹角是()A.45B.60C.90D.120解析:不妨设AB=BC=AA1=1,则EF=BF-BE=12
6、(BB1-BA),BC1=BC+BB1,|EF|=12|BB1-BA|=22,|BC1|=2,EFBC1=12(BB1-BA)(BC+BB1)=12,cos =EFBC1|EF|BC1|=12222=12,=60,即异面直线EF与BC1的夹角是60.答案:B10已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是边AB,AD的中点,GC垂直于正方形ABCD所在的平面,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为()A.3B.5C.1111D.21111解析:如图,建立空间直角坐标系,则B(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),GE=(2,4,-2),GF=(4,2,-2)
7、.设n=(x,y,z)是平面EFG的一个法向量,则nGE=0,nGF=0,即2x+4y-2z=0,4x+2y-2z=0.令x=1,则y=1,z=3.则n=(1,1,3),而EB=(-2,0,0).设点B到平面EFG的距离为d,则d=|nEB|n|=21111.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,侧棱的长是底面边长的2倍,E为侧棱SC上一点,BESD=0,若SE=EC,则=_.解析:以底面ABCD的中心为原点,以OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则有B(0,1,0),D(0,-1
8、,0),S(0,0,3),C(-1,0,0).由SE=EC可得E-1+,0,31+,由BESD=0可得=2.答案:212如图,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,以AB,AC,AD为基底,则GE=_.解析:GE=GA+AD+DE=-13(AB+AC)+AD+14(AB-AD)=-112AB-13AC+34AD.答案:-112AB-13AC+34AD13若点A,B的坐标为A(3cos ,3sin ,1),B(2cos ,2sin ,1),则|AB|的取值范围为_.解析:|AB|=(2cos-3cos)2+(2sin-3sin)2+(1-1)
9、2=13-12cos(-).-1cos(-)1,113-12cos(-)25.1|AB|5.答案:1,514在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出下列四个命题:(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B12;A1C(A1B1-A1A)=0;向量AD1与向量A1B的夹角为60;正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|ABAA1AD|.其中正确的命题是.(填序号)解析:中,设正方体的棱长为1,则(A1A+A1D1+A1B1)2=A1C2=3,3A1B12=3,故正确;中,A1B1-A1A=AB1,由AB1A1C,故正确;中,A1B与AD1两异面直线所成角为60,但AD1与A1B的夹角为120
10、,故不正确;中,|ABAA1AD|=0,故也不正确.答案:15如图所示,已知二面角-l-的平面角为0,2,ABBC,BCCD,AB在平面内,BC在l上,CD在平面内,若AB=BC=CD=1,则AD的长为.解析:因为AD=AB+BC+CD,所以AD2=AB2+BC2+CD2+2ABCD+2ABBC+2BCCD=1+1+1+2cos(-)=3-2cos .所以|AD|=3-2cos,即AD的长为3-2cos.答案:3-2cos三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知A(3,-2,1),B(1,1,1),O为坐标原点.(1)写出一个非零向量c,
11、使得c平面AOB;(2)求线段AB中点M及AOB的重心G的坐标;(3)求AOB的面积.解:(1)设非零向量c=(x,y,z),要使c平面AOB,则cOA=0,且cOB=0,即3x-2y+z=0,x+y+z=0.令x=3,则y=2,z=-5,即非零向量c=(3,2,-5).(2)线段AB中点M为1+32,1-22,1+12,即2,-12,1,AOB的重心G坐标为1+3+03,1-2+03,1+1+03,即G43,-13,23.(3)|OA|=32+(-2)2+1=14,OB|=3,cosAOB=OAOB|OA|OB|=3-2+1143=4221,sinAOB=39921.SAOB=1214339
12、921=382.17(8分)如图,在四棱锥M-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且AM和AB,AD的夹角都是60,N是CM的中点,设a=AB,b=AD,c=AM,试以a,b,c为基向量表示出向量BN,并求BN的长.解:BN=BC+CN=AD+12CM=AD+12(AM-AC)=AD+12AM-(AD+AB)=-12AB+12AD+12AM,BN=-12a+12b+12c.|BN|2=BN2=-12a+12b+12c2=14(a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc)=174,|BN|=172,即BN的长为172.18(9分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中
13、,底面ABCD是正方形,E是DD1的中点.(1)求证:ACB1D;(2)若B1D平面ACE,求AA1AB的值;(3)在(2)的条件下,求二面角D-AE-C的大小.(1)证明ABCD-A1B1C1D1是长方体,底面ABCD是正方形,DA,DC,DD1两两垂直.如图,以D为原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设AA1=a,AB=b,则D(0,0,0),A(b,0,0),B(b,b,0),C(0,b,0),B1(b,b,a).AC=(-b,b,0),DB1=(b,b,a),ACDB1=0.ACB1D.(2)解B1D平面ACE,B1DAE.E0,0,a2,AE=-b
14、,0,a2.DB1AE=-b2+12a2=0,AA1AB=ab=2.(3)解DC是平面DAE的一个法向量,DC=(0,b,0).设n=(x,y,z)是平面AEC的一个法向量,则nAC=0,nAE=0,即-bx+by=0,-bx+a2z=-bx+22bz=0.取x=1,则y=1,z=2,即n=(1,1,2).设二面角D-AE-C的平面角的大小是,则cos =DCn|DC|n|=12,二面角D-AE-C的大小是60.19(10分)如图,在四棱锥S-ABCD中,SD平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,ADC=DAB=90,SD=AD=AB=2,DC=1.(1)求二面角S-BC-A的余弦值;(2)
15、设P是棱BC上一点,E是SA的中点,若PE与平面SAD所成角的正弦值为22613,求线段CP的长.解:(1)以D为原点,分别以DA,DC,DS的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则由已知可得,D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,1,0),S(0,0,2),SB=(2,2,-2),SC=(0,1,-2).设平面SBC的一个法向量为n1=(x,y,z),由n1SB,n1SC得,n1SB=0,n1SC=0,2x+2y-2z=0,y-2z=0,解得x=-z,y=2z,取z=1,得x=-1,y=2,n1=(-1,2,1).SD平面ABCD,取平面ABCD的一个
16、法向量为n2=(0,0,1).设二面角S-BC-A的大小为,|cos |=|n1n2|n1|n2|=16=66,由图可知,二面角S-BC-A为锐二面角,二面角S-BC-A的余弦值为66.(2)由(1)知E(1,0,1),CB=(2,1,0),CE=(1,-1,1).设CP=CB(01),则CP=(2,1,0)=(2,0),PE=CE-CP=(1-2,-1-,1).易知CD平面SAD,CD=(0,1,0)是平面SAD的一个法向量.设PE与平面SAD所成的角为,则sin =|cos|=|PECD|PE|CD|=+152-2+3=22613,解得=13或=119(舍去).CP=23,13,0,|CP
17、|=232+132+02=53.即线段CP的长为53.20(10分)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于点A,B的点,直线PC平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点.(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明;(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足DQ=12CP,记直线PQ与平面ABC所成的角为,异面直线PQ与EF所成的角为,二面角E-l-C的大小为,求证:sin =sin sin .(1)解直线l平面PAC,证明如下:连接EF,因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EFAC.又EF平面ABC,且AC平面ABC,所以EF平
18、面ABC.而EF平面BEF,且平面BEF平面ABC=l,所以EFl.因为l平面PAC,EF平面PAC,所以直线l平面PAC.图(2)证明方法一:如图,连接BD,由(1)可知交线l即为直线BD,且lAC.因为AB是O的直径,所以ACBC,于是lBC.已知PC平面ABC,而l平面ABC,所以PCl.而PCBC=C,所以l平面PBC.连接BE,BF,因为BF平面PBC,所以lBF.故CBF就是二面角E-l-C的平面角,即CBF=.由DQ=12CP,作DQCP,且DQ=12CP.连接PQ,DF,因为F是CP的中点,CP=2PF,所以DQ=PF.从而四边形DQPF是平行四边形,PQFD.连接CD,因为P
19、C平面ABC,所以CD是FD在平面ABC内的射影,故CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角,即CDF=.又BD平面PBC,有BDBF,知BDF为锐角,故BDF为异面直线PQ与EF所成的角,即BDF=.于是在RtDCF,RtFBD,RtBCF中,分别可得sin =CFDF,sin =BFDF,sin =CFBF,从而sin sin =CFBFBFDF=CFDF=sin ,即sin =sin sin .方法二:如图,由DQ=12CP,作DQCP,且DQ=12CP.连接PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交线l即为直线BD.图以点C为原点,向量CA,CB,CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建
20、立如图所示的空间直角坐标系,设CA=a,CB=b,CP=2c,则有C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c),E12a,0,c,F(0,0,c).于是FE=12a,0,0,QP=(-a,-b,c),BF=(0,-b,c),所以cos =|FEQP|FE|QP|=aa2+b2+c2,从而sin =1-cos2=b2+c2a2+b2+c2 .又取平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),可得sin =|mQP|m|QP|=ca2+b2+c2,设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z),所以由nFE=0,nBF=0,可得12ax=0,-by+cz=0.取n=(0,c,b),于是|cos |=|mn|m|n|=bb2+c2,从而sin =1-cos2=cb2+c2.故sin sin =b2+c2a2+b2+c2cb2+c2=ca2+b2+c2=sin ,即sin =sin sin .
