1、第2讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集3线性规划的有关概念名 称意 义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于变量x，y的函数解析式，如zx2
2、y线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1辨明两个易误点(1)画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先将二元一次不等式化为axbyc0(a0)的形式；(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有2求zaxby(ab0)的最值方法将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(1)当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距
3、取最小值时，z也取最小值；(2)当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值1. 不等式x2y60表示的区域在直线x2y60的()A右上方B右下方C左上方 D左下方C 画出x2y60的图象如图所示，可知该区域在直线x2y60的左上方故选C.2不等式组表示的平面区域的面积为()A4 B1C5 D无穷大B 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，ABC的面积即所求求出点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(2，2)，C(3，0)，则ABC的面积为S(21)21.3. 已知实数x，y满足约束条件则z2xy的最大值为()A3B.C D3A 画出可行域，如图阴影部分所示由z2x
4、y，知y2xz，当目标函数过点(2，1)时直线在y轴上的截距最大，为3.4(2017扬州模拟)点(2，t)在直线2x3y60的上方，则t的取值范围是_ 因为直线2x3y60的上方区域可以用不等式2x3y60表示，所以由点(2，t)在直线2x3y60的上方得43t60，解得t. 5(2016高考全国卷甲)若x，y满足约束条件则zx2y的最小值为_ 法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由zx2y得yxz，作直线yx并平移，观察可知，当直线经过点A(3，4)时，zmin3245.法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，
5、4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得zmin5. 5二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)不等式组表示的平面区域的面积为_(2)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是_【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由得A(8，2)由xy20得B(0，2)又|CD|2，故S阴影22224.(2)不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)解得A；解得B(1，0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线xya中的a的取值范围是0a1或a.【答案】(1)4(2)(0，1二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区
6、域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点 1不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是()C (x2y1)(xy3)0，即或与选项C符合故选C.2已知不等式组表示的平面区域为D，若直线ykx1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是_ 区域D如图中的阴影部分所示，直线ykx1经过定点C(0，1)，如果其把区域D划分为面积相等的两
7、个部分，则直线ykx1只要经过AB的中点即可由方程组解得A(1，0)由方程组解得B(2，3)所以AB的中点坐标为，代入直线方程ykx1得，k1，解得k. 求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题高考对线性目标函数最值(范围)问题的考查有以下三个命题角度：(1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)；(3)求非线性目标函数的最值(范围)(本讲名师讲坛中讲解)(1)(2016高考全国卷丙)设x，y满足约束条件则z2x3y5的最小值为_(2)(2015高考山东卷)已知x，y
8、满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a()A3B2C2 D3【解析】(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z2x3y5经过点A(1，1)时，z取得最小值，zmin2(1)3(1)510.(2)画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若zaxy的最大值为4，则最优解为x1，y1或x2，y0，经检验知x2，y0符合题意，所以2a04，此时a2，故选B.【答案】(1)10(2)B利用线性规划求目标函数最值的步骤(1)画出约束条件对应的可行域；(2)将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点；(3)将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值对于已知目标函
9、数的最值，求参数问题，把参数当作已知数，找出最优解代入目标函数 角度一求线性目标函数的最值(范围)1(2017贵阳市监测考试)已知O是坐标原点，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则目标函数zx2y的最大值是()A0 B1C3 D4D 作出点M(x，y)满足的平面区域，如图所示，由图知当点M为点C(0，2)时，目标函数zx2y取得最大值，即为10224，故选D. 角度二已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)2(2017海口市调研测试)若x，y满足且zyx的最小值为12，则k的值为()A. BC. DD 依题意，易知k1不符合题意，由得A，结合图形可知，当直线zyx过点A时，z有最小
10、值，于是有012，k，选D.3(2017河南省六市第一次联考)实数x，y满足，使zaxy取得最大值的最优解有2个，则z1axy1的最小值为()A0 B2C1 D1A 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影所示，因为zaxy取得最大值的最优解有2个，所以a1，a1，所以当x1，y0或x0，y1时，zaxyxy有最小值1，所以axy1的最小值是0，故选A.线性规划的实际应用(2016高考全国卷乙)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润
11、为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元【解析】由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z2 100x900y，线性约束条件为作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由xN，yN，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以zmax2 10060900100216 000(元)【答案】216 000 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要
12、求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A31 200元B36 000元C36 800元 D38 400元C 设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则约束条件为目标函数为z1 600x2 400y.画出可行域：图中所示阴影中的整点部分，可知目标函数过点N(5，12)时，有最小值zmin36 800(元) 数形结合思想求解非线性规划问题(2015高考全国卷)若x，y满足约束条件则的最大值为_【解析】画出可行域如图阴影所示，因为 表示过点(x，y)与原点(0，0)的直线的斜率，所以点(x，y)在点A处时最大由得所以A(1，3)所以的最大值为3.【答案】3(1)
13、本题在求的取值范围时，利用数形结合思想，把转化为动点(x，y)与定点(0，0)连线的斜率解决这类问题时，需充分把握目标函数的几何含义，在几何含义的基础上加以处理(2)常见代数式的几何意义： 表示点(x，y)与原点(0，0)的距离； 表示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率值；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率值1.(2016高考山东卷)若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A4B9C10 D12C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P(x，y)为平面区域内任意一点，则x2y2表示|OP|2.显然，当点P与点A重合时，|OP|2，即
14、x2y2取得最大值由，解得，故A(3，1)所以x2y2的最大值为32(1)210.故选C.2(2017福建省毕业班质量检测)若x，y满足约束条件，则的取值范围为()A.B.C.D. 可行域为如图所示的阴影部分，目标函数z表示可行域上的点与定点P(1，1)连线的斜率，所以当连线经过点B(2，0)时，z取得最小值，zmin，当连线经过点A(0，2)时，z取得最大值，zmax1，所以z的取值范围为. 1(2017长春模拟)不等式组表示的平面区域是()B x3y60表示直线x3y60以及该直线下方的区域，xy20表示直线xy20上方的区域，故选B.2(2017泰安模拟)不等式组所表示的平面区域的面积为
15、()A1B.C. D.D 作出不等式组对应的区域为BCD，由题意知xB1，xC2.由得yD，所以SBCD(xCxB).3(2017合肥市第二次质量检测)若实数x，y满足，则z2xy的最小值为()A6 B1C3 D6B 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当z取得最小值时，直线y2xz在y轴上的截距最大，则当目标函数直线经过点(0，1)时，z取得最小值1，选项B正确4(2015高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨
16、)3212B(吨)128A.12万元 B16万元C17万元 D18万元D 设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有z3x4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z3x4y经过点A(2，3)时，z取最大值，最大值为324318.5(2017石家庄市教学质量检测(二)已知x，y满足约束条件，若2m4，则目标函数zmxy的最大值的变化范围是()A BC DD 画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：mxy0，m，则由图可知当x2，y1时，z取得最大值，即zmax2m1，故选D.6(2017福建省毕业班质量检测)若x，y满足约束条件，则(x2)2(y3
17、)2的最小值为()A1 B.C5 D9B 可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P(2，3)到直线xy20的距离为，所以(x2)2(y3)2的最小值为，故选B.7(2017广州市五校联考)设不等式组所表示的平面区域为D，则区域D的面积为_ 如图，画出可行域，易得A，B(0，2)，C(0，4)，所以可行域D的面积为2. 8若x，y满足约束条件则zxy的最小值是_ 作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A(1，1)，B，C(0，4)经过点A时，目标函数z达到最小值所以zmin110. 09(2017广东茂名二模)已知点A(1，2)，点P(x，y)满足O为坐标原点，则z的最大值
18、为_ 由题意知zx2y，作出可行域如图阴影部分，作直线l0：yx，当l0移到过A(1，2)的l的位置时，z取得最大值，即zmax1225. 510(2017河南中原名校联考)设x，y满足不等式组若M3xy，N，则MN的最小值为_ 作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1，2)，B(3，2)，当直线3xyM0经过点A(1，2)时，目标函数M3xy取得最小值1.又由平面区域知1x3，所以函数N在x1处取得最大值，由此可得MN的最小值为1. 11.已知D是以点A(4，1)，B(1，6)，C(3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)如图所示(1)写出表示区域D的不等式组；(2
19、)设点B(1，6)，C(3，2)在直线4x3ya0的异侧，求a的取值范围 (1)直线AB、AC、BC的方程分别为7x5y230，x7y110，4xy100.原点(0，0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有0，即(14a)(18a)0，得a的取值范围是18a14.12在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上(1)若0，求|；(2)设mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值 (1)法一：因为0，又(1x，1y)(2x，3y)(3x，2y)(63x，63y)，所以解得即(2，2)，故|2.法二
20、：因为0，则()()()0，所以()(2，2)，所以|2.(2)因为mn，所以(x，y)(m2n，2mn)，所以两式相减得，mnyx.令yxt，由图知，当直线yxt过点B(2，3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.13已知变量x，y满足约束条件若zx2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2kx10在区间(b，a)上有两个不同实数解，则实数k的取值范围是()A(6，2) B(3，2)C. D.C 作出可行域，如图所示，则目标函数zx2y在点(1，0)处取得最大值1，在点(1，1)处取得最小值3，所以a1，b3，从而可知方程x2kx10在区间(3，1)上有两个不同实数解令f(x)x2kx
21、1，则k2，故选C.14(2017郑州质检)若x，y满足条件当且仅当xy3时，zaxy取得最小值，则实数a的取值范围是_ 画出可行域，如图，直线3x5y60与2x3y150交于点M(3，3)，由目标函数zaxy，得yaxz，纵截距为z，当z最小时，z最大欲使纵截距z最大，则a. 15若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围 (1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)平移初始直线xy0，过A(3，4)时z取最小值2，过C(1，0)时z取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax
22、2yz仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a2.故a的取值范围是(4，2)16(2016高考天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润 (1)由已知，x，y满足的数学关系式为设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分(2)设利润为z万元，则目标函数为z2x3y.考虑z2x3y，将它变形为yx， 这是斜率为，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z2x3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得点M的坐标为(20，24)所以zmax220324112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元
