1、把脉高考 理清考情考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优 课时规范训练 第4课时 二次函数与幂函数 考纲点击1.以函数 yx,yx2,yx3,y1x,yx12为内容研究其图象性质.2.以二次函数为背景,研究其图象性质.3.二次函数、二次方程、二次不等式的综合问题.1(2016高考全国丙卷)已知 a243,b323,c2513则()AbacBabcCbcaDcab解析:选 A.a243423,c2513523,而函数 yx23在(0,)上单调递增,所以 323423523,即 bac,故选 A.2(2015高考陕西卷)对二次函数 f(x)ax2bxc(a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,
2、其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是()A1 是 f(x)的零点B1 是 f(x)的极值点C3 是 f(x)的极值D点(2,8)在曲线 yf(x)上解析:选 A.结合二次函数图象,根据零点、极值与极值点、点在函数图象上的定义与性质将各结论转化为关于 a,b,c 的方程,看是否有符合条件的解,从而进行判断 A 中1 是 f(x)的零点,则有 abc0 B 中 1 是 f(x)的极值点,则有 b2a.C 中 3 是 f(x)的极值,则有4acb24a3.D 中点(2,8)在曲线 yf(x)上,则有 4a2bc8.联立解得 a34,b32,c94.联立解得 a5,b10,c8,从而可判断 A
3、 错误,故选 A.3(2014高考上海卷)若 f(x)x23x-12,则满足 f(x)0 的 x 的取值范围是解析:令 y1x23,y2x-12,f(x)0即为 y1y2,函数 y1x23,y2x-12的图象如图所示,观察图象,当 0 x1 时,y1y2,所以满足 f(x)1 时,曲线下凸;,01时,曲线上凸;0,a1.解得 a1.因此 f(x)的解析式是 f(x)x(x2)x22x.答案:x22x2已知二次函数 f(x)满足 f(2)1,f(1)1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数的解析式解:法一:(利用一般式)设 f(x)ax2bxc(a0)由题意得4a2bc1,abc1,4a
4、cb24a8,解得a4,b4,c7.所求二次函数为 f(x)4x24x7.法二:(利用顶点式)设 f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1),抛物线的对称轴为 x21212.m12.又根据题意函数有最大值 8,n8.yf(x)ax1228.f(2)1,a212281,解得 a4,f(x)4x12284x24x7.法三:(利用零点式)由已知 f(x)10 两根为 x12,x21,故可设 f(x)1a(x2)(x1),即 f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值 ymax8,即4a2a1a24a8.解得 a4 或 a0(舍)所求函数的解析式为 f(x)4x24x7.根据已知条件确定二次函数解析
5、式,一般用待定系数法,规律如下:考点三 二次函数的图象性质及应用命题点 1 二次函数图象的特征二次函数的图象和性质 解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a4ac;2ab1;abc0;5ab.其中正确的是()ABCD解析:选 B.由图象知,a0,即 b24ac.对称轴 x b2a1,2ab0.当 x1 时,对应最大值,f(1)abc0.b2a,a0,5a2a,即 5ab.常用的关系:fxax2bxc,f0c 是抛物线与 y 轴交点位置,fx0 时两根 x1,x2,则 x1x2ba,可体现对称轴 x b2a位置,x1x2ca可体现 yfx与 x 轴交点位置.命题点 2 单调性与
6、闭区间上的最值抛物线开口方向,对称轴位置及自变量范围2(2015高考浙江卷)设函数 f(x)x2axb(a,bR)(1)当 ba24 1 时,求函数 f(x)在1,1上的最小值 g(a)的表达式;(2)已知函数 f(x)在1,1上存在零点,0b2a1,求 b 的取值范围解:(1)当 ba24 1 时,f(x)xa221,故对称轴为直线 xa2.当 a2 时,g(a)f(1)a24 a2.当22 时,g(a)f(1)a24 a2.綜上,g(a)a24 a2,a2,1,22.(2)设 s,t 为方程 f(x)0 的解,且1t1,则sta,stb,由于 0b2a1,因此2tt2s12tt2(1t1)
7、当 0t1 时,2t2t2 stt2t2t2.由于232t2t2 0 和13t2t2t2 94 5,所以23b94 5.当1t0 时,t2t2t2 st2t2t2,由于22t2t2 0 和3t2t2t2 0,所以3b0在区间m,n上的最大或最小值的求法如下:1当 b2am,n,即对称轴在所给区间内时,fx的最小值在对称轴处取得,其最小值是 f b2a 4acb24a;若 b2amn2,fx的最大值为 fn;若 b2amn2,fx的最大值为 fm.2当 b2am,n,即给定的区间在对称轴的一侧时,fx在m,n上是单调函数.若 b2am,fx在m,n上是增函数,fx的最小值是 fm,最大值是 fn
8、;若 n b2a,fx在m,n上是减函数,fx的最小值是 fn,最大值是 fm.3当不能确定对称轴 b2a是否属于区间m,n时,则需分类讨论,以对称轴与区间的关系确定讨论的标准,然后转化为上述12两种情形求最值.命题点 3 方程根及不等式恒成立问题一元二次方程根的分布问题,常借助二次函数图象,从开口方向、对称轴、判别式、端点函数值四方面入手 3直线 y1 与曲线 yx2|x|a 有四个交点,则 a 的取值范围是解析:yx2|x|a 是偶函数,图象如图所示,由图可知 y1 与 yx2|x|a 有四个交点,需满足 a141a,即 1a54.答案:1a544(2017日照模拟)设函数 f(x)ax2
9、2x2,对于满足 1x0,则实数 a 的取值范围为解析:当 a0 时,f(x)ax1a221a,由 x(1,4),f(x)0 得:1a1,f1a220 或11a0或1a4,f416a820.所以a1,a0或14a12或a14,a38.所以 a1 或12a12.当 a12.答案:12,1ax2bxc0,a0 恒成立的充要条件是a0,b24ac0.即整个图象在 x 轴上方;2ax2bxc0,a0 恒成立的充要条件是a0,b24ac0,xm,n恒成立,要讨论 a0,a0 和a0,a0 时,f(x)ax22x 的图象的开口方向向上,且对称轴为 x1a.当 01,即 0a1 时,f(x)ax22x 的图
10、象的对称轴在0,1的右侧,f(x)在0,1上递减 f(x)minf(1)a2.6 分 当 a0 时,f(x)ax22x 的图象的开口方向向下,且对称轴 x1a0,在 y 轴的左侧,f(x)ax22x 在0,1上递减 f(x)minf(1)a2.综上所述,f(x)mina2,a1,1a,a1.8 分(2)只需 f(x)min1,即可 由(1)知,当 a1 时,a21,a1 舍;当 a1 时,1a1 恒成立,a1.10 分(3)由题意知 f(x)0 时,x0,x2a(a0),00,1,00 和 a0 还是 a0.(2)看到二次函数:想到抛物线的特征(3)看到二次函数的单调性,想到开口方向及对称轴(4)看到二次方程、二次不等式问题,想到二次函数(5)看到幂函数,想到幂函数的图象性质(6)看到指数相同的幂的大小比较,想到幂函数 课时规范训练