1、成都七中2016-2017学年度下期半期考试高2018届数学试卷（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2为空间任意一点，若，则四点 ( )A一定不共面 B一定共面 C不一定共面 D无法判断3.用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是( )A方程没有实根 B方程至多有一个
2、实根C方程至多有两个实根 D方程恰好有两个实根4.定积分的值为（ ）A B C. D5若函数在是增函教，则的取值范围是( )A B C. D6已知函数，则的图象大致为（ ）A B C. D7设不重合的两条直线、和三个平面、给出下面四个命题：（1） （2）（3） （4）其中正确的命题个数是（ ）A B C. D8.设，则（ ）A都不大于 B都不小于C至少有一个不大于 D至少有一个不小于9已知函数，则( )A是的极大值也是最大值 B是的极大值但不是最大值C是的极小值也是最小值 D没有最大值也没有最小值10.如图，二面角的大小是，线段，与所成的角为，则与平面所成的角的正弦值是( )A B C. D1
3、1已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是( )A B C. D12.函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解是( )A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 14.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为 15.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B曼德尔布罗特(Benoit BMandelbrot)在世纪年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是 16.若定义在上
4、的函数对任意两个不等的实数都有，则称函数为“函数”.给出下列四个定义在的函数：；，其中“函数”对应的序号为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知复数满足试判断复数在复平面内对应的点的轨迹是什么图形，并求出轨迹方程18.如图所示，在三棱柱中，底面, ,是侧面的中心，点、分别是棱、的中点.(1)证明平面；(2)求直线和平面所成的角19.观察下列等式 第一个式子 第二个式子 第三个式子 第四个式子照此规律下去(1)写出第个等式；(2)试写出第个等式，并用数学归纳法验证是否成立.20.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，为的中点，是棱上
5、的点，.(1)求证：平面平面；(2)若二面角大小的为，求的长21.设函数,.(1)求函数的单调区间；(2)当时，讨论函数与的图象的交点个数.22.已知,.(1)当时，为增函数，求实数的取值范围；(2)设函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；(3)若，设函数，求证：对任意，恒成立.成都七中2016-2017学年度下期半期考试高2018届数学试卷（理科）答案一、选择题1-4:BBACD 6-10: ABCAD 11、12：CA二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：由可知复数是复平面内到两定点距离相等的点，其轨迹是这两点连线的垂直平分线.这两点坐标分别是和，在直线上且关于原
6、点对称，所以它的垂直平分线方程是，即复数的轨迹方程是.法二：设，得化简整理得，这是一条直线. 18.(1)证明：依题意可知侧面为正方形，连结则为中点，在中， 、分别是边、的中点，所以.(2)连结易得先证明面过作交于，连结，则即为直线和平面所成的角.在中，所以直线和平面所成的角为.19.【解析】(1)第个等式；(2)猜测第个等式为，再用数学归纳法加以证明.试题解析：(1)第个等式.(2)猜测第个等式为.证明：(1)当时显然成立；(2)假设时也成立，即有，那么当时左边.而右边, 这就是说时等式也成立根据(1)(2)知，等式对任何都成立20.解：(1)，为的中点，四边形为平行四边形，即.又平面底面且
7、平面平面，平面.平面，平面平面.(2)，为的中点，.平面底面，且平面平面，平面.如图，以为原点建立空间直角坐标系，则,由，且，得，所以，又，平面法向量为，由题意知平面的法向量为二面角大小的为，.21.解：(1)函数的定义域为，当时，所以的增区间是，无减区间；当时，.当时，函数单调递减；当时，函数单调递增综上，当时，函数的增区间是，无减区间；当时，的增区间是，减区间是.(2)令，问题等价于求函数的零点个数当时，,有唯一零点；当时，.当时，当且仅当时取等号，所以为减函数注意到,所以在内有唯一零点；当时，当，或时，；时，所以在和上单调递减，在上单调递增注意到,所以在内有唯一零点；当时，或时，；时，所以在和上单调递减，在上单调递增注意到，所以在内有唯一零点综上，有唯一零点，即函数与的图象有且仅有一个交点.22.解：（1），.时为增函数，对恒成立，即.令,则，令解得.在单减； 单增，.(2)，即，令，令得，在单增；单减，又有唯一零点，所以可作出函数的示意图，要满足对恒成立只需解得.法二：对恒成立，令得，令，则，令，则 ， 令，则，则在单增，单减；，故对恒成立.在单减，无论在有无零点，在上的最小值只可能为或，要恒成立，且 ，.(3)对任意，恒成立，只需.，在上单调递增，在上单调递减，即证对恒成立，令即证对恒成立，令，则，即在上单调递增，即对恒成立所以对任意，恒成立.
