1、1.2利用二分法求方程的近似解内容标准学科素养1.能用二分法求出方程的近似解2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.体会逐步逼近加强数形结合函数与方程思想授课提示：对应学生用书第69页基础认识知识点一二分法的定义用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？提示：前提条件：(1)f(x)在区间a，b上的图像连续不断(2)在区间a，b端点的函数值f(a)f(b)0.知识梳理二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法知识点二
2、用二分法求方程近似解的步骤用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算得f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_提示：(0,0.5)f(0.25)知识梳理二分法的步骤给定精确度，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度.(2)求区间(a，b)的中点c.(3)计算f(c)若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4)思考
3、：1.能否用二分法求任何函数(图像是连续的)的近似零点？提示：不能看一个函数能否用二分法求其零点关键要看是否具备应用二分法的条件(即函数图像在零点附近是连续不断的，且在该零点左右函数值异号，从图像上看即图像穿过x轴)2在用二分法求函数f(x)零点近似值时精确度有什么作用？提示：(1)精确度是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|ab|为止(2)由(1)可知，如果求函数零点的近似值时，所给的“”不同，得到的结果也不相同自我检测1已知函数f(x)的图像如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为()A4,4 B3,
4、4 C5,4 D4,3解析：由图像知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)f(b)0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点答案：D2用二分法求函数f(x)ln x2x6的零点可以选取的初始区间是()A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5)解析：f(1)40，f(2)ln 220，f(3)ln 30，f(2)f(3)0.答案：B3求方程x32x50在区间(2,3)内的实根，取区间中点x02.5，那么下一个有根区间是_解析：令f(x)x32x5，则f(2)2322510，f(2.5)0，f(3)160，下一个有根区间为
5、(2,2.5)答案：(2,2.5)授课提示：对应学生用书第69页探究一二分法概念的理解例1下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()思路点拨解析利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号在B中，不满足f(a)f(b)0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点，故选B.答案B方法技巧(1)准确理解“二分法”的含义二分就是平均分成两部分，二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点(2)“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足
6、函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点跟踪探究1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()Ax1 Bx2 Cx3 Dx4解析：由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间a，b，使得f(a)f(b)0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3a，b时均有f(a)f(b)0，故不可以用二分法求该零点答案：C探究二用二分法求方程的近似解例2用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度0.1)解析令f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(1)20，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0
7、,1)内存在零点，即方程2x33x3在(0,1)内有解取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，又f(1)0.所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)0f(1)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(1)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.75)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.75)0f(0.687 5)0由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以方程2x33x3
8、0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.延伸探究1.(变换条件)(本例变为)用二分法求2xx4在1,2内的近似解(精确度为0.2)参考数据：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解析：令f(x)2xx4，则f(1)2140，f(2)22240.区间区间中点值xnf(xn)的值及符号(1,2)x11.5f(x1)0.330(1,1.5)x21.25f(x2)0.370(1.25,1.5)x31.375f(x3)0.0350|1.3751.5|0.1250.2，2xx4在1,2内的近似解可取为1
9、.375.2(变换条件)若本例改为“试判断函数f(x)x33x29x1在2，1内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)”又如何求解呢？解析：因为f(1)0，f(2)0，且函数f(x)x33x29x1的图像是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间2，1内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：端点(中点)端点或中点的函数值取值区间f(1)0，f(2)0(2，1)x01.5f(x0)4.3750(2，1.5)x11.75f(x1)2.2030(2，1.75)x21.875f(x2)0.7360(2，1.875)x31.937 5f(x3)0.097 40(1.937 5，1.8
10、75)由于|1.8751.937 5|0.062 50.1，所以函数在区间2，1内的一个近似零点可取为1.937 5.方法技巧1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图像估计零点所在的初始区间m，n(一般采用估计值的方法完成)(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值2二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区间，找中点，中值计算两边看同号丢，异号算，零点落在异号间复复做，何时止，精确度来把关口跟踪探究2.求方程lg x2x的近似解(精确度0.1)解析：在同一平面
11、直角坐标系中，作出ylg x，y2x的图像如图所示，可以发现方程lg x2x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内设f(x)lg xx2，则f(x)的零点为x0.用计算器计算，得f(1)0，f(2)0x0(1,2)；f(1.5)0，f(2)0x0(1.5,2)；f(1.75)0，f(2)0x0(1.75,2)；f(1.75)0，f(1.875)0x0(1.75,1.875)；f(1.75)0，f(1.812 5)0x0(1.75,1.812 5)|1.812 51.75|0.062 50.1，方程的近似解可取为1.812 5.授课提示：对应学生用书第70页课后小结1二分法就是通过不断地将
12、所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2并非所有函数都可以用二分法求出其零点，只有满足：(1)在区间a，b上连续不断；(2)f(a)f(b)0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值素养培优不会转化造成解题思路受阻易错案例：求的近似值(精确度0.01)易错分析：求根式的近似值，实质上就是将根式转化为方程的无理根，再转化为函数的零点，通过二分法求解，这应形成一种模式，否则遇到类似问题将会使思维受阻而不得解考查转化思想、函数与方程思想，逼近思想等学科素养自我纠正：设x，则x320，令f(x)x
13、32，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值以下用二分法求其零点的近似值由于f(1)10，f(2)60，故可以取区间1,2为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值(1,2)1.5f(1.5)1.375(1,1.5)1.25f(1.25)0.046 9(1.25,1.5)1.375f(1.375)0.599 6(1.25,1.375)1.312 5f(1.312 5)0.261 0(1.25,1.312 5)1.281 25f(1.281 25)0.103 3(1.25,1.281 25)1.265 625f(1.265 625)0.027 3(1.25,1.265 625)1.257 812 5f(1.257 812 5)0.010 0(1.257 812 5,1.265 625)由于区间(1.257 812 5,1.265 625)的长度1.265 6251.257 812 50.007 812 50.01，所以的近似值可以取1.265 625.
