1、*2.4一元二次方程根与系数的关系一、选择题12019怀化若x1，x2是一元二次方程x22x30的两个根，则x1x2的值是()A2 B2 C4 D322019济南关于x的方程x25xm0的一个根为2，则另一个根是()A6 B3 C3 D63已知实数x1，x2满足x1x27，x1x212，则以x1，x2为根的一元二次方程可以是()Ax27x120 Bx27x120Cx27x120 Dx27x1204设a，b是方程x2x20200的两个根，则a22ab的值为()A2019 B2019 C2019 D20205已知关于x的一元二次方程x24xm20有两个实数根x1，x2，则m2()的值是()A. B
2、 C4 D46若实数a，b(ab)分别满足a27a20，b27b20，则的值为()A. B.C.或2 D.或2二、填空题7写出一个以1和2为两根的一元二次方程(二次项系数为1)：_8若矩形的长和宽是方程2x216xm0(0m32)的两根，则矩形的周长为_9若关于x的方程x2(a1)xa20的两根互为倒数，则a_10已知关于x的方程x26xk0的两根分别是x1，x2，且满足3，则k的值是_11等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x28xn20的两根，则n的值为_三、解答题12已知关于x的方程3x2mx80有一个根是，求另一个根及m的值132019南充已知关于x的一元
3、二次方程x2(m3)xm0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实根为x1，x2，且x12x22x1x27，求m的值14已知ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2(2k5)xk25k60的两个实数根，BC边的长为5.(1)当k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形？(2)当k为何值时，ABC是等腰三角形？并求出此时ABC的周长15已知x1，x2是一元二次方程4kx24kxk20的两个实数根是否存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由16关于x的一元二次方程x2(m3)xm20.(1)求证：该方程总有两个不相等
4、的实数根；(2)设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|x2|2，求m的值及方程的根17阅读理解题阅读材料，解答问题：为了解方程(x21)25(x21)40，如果我们把x21看作一个整体，然后设x21y，则原方程可化为y25y40，易得y11，y24.当y1时，即x211，解得x；当y4时，即x214，解得x.综上可知，原方程的根为x1，x2，x3，x4.我们把以上这种解决问题的方法叫作换元法，这种方法通常体现了数学中复杂问题简单化、把未知化成已知的转化思想请根据这种思想完成下列问题：(1)直接应用：解方程x4x260.(2)间接应用：已知实数m，n满足m27m20，n27n20，则的值
5、是()A. B.C2或 D2或(3)拓展应用：已知实数x，y满足3，y4y23，求y4的值1答案 D2解析 B设方程的另一个根为n，则有2n5，解得n3.故选B.3答案 A4解析 C把xa代入方程x2x20200得a2a20200，a2a2020.a，b是方程x2x20200的两个根，ab1，a22aba2aab2020(1)2019.故选C.5解析 Dx24xm20有两个实数根x1，x2，x1x24，x1x2m2，m2()m2m24.6解析 A由实数a，b分别满足a27a20，b27b20，且ab，得a，b是方程x27x20的两个根，ab7，ab2，.故选A.7答案 (x1)(x2)0或x2
6、3x20解析 法一：将一元二次方程的两根x11和x22代入a(xx1)(xx2)0(a0)，得ax(1)x(2)0(a0)，a(x1)(x2)0.方程的二次项系数为1，方程为(x1)(x2)0.展开，得x23x20.法二：两根之和为1(2)3，两根之积为1(2)2，根据根与系数的关系，方程为x2(x1x2)xx1x20，将代入，得x23x20.8答案 16解析 设矩形的长和宽分别为x1，x2，根据题意得x1x28，所以矩形的周长为2(x1x2)16.9答案 1解析 方程的两根互为倒数，两根的乘积为1，即a21，a1或a1.当a1时，原方程化为x210，方程无实数根，不符合题意，故舍去；当a1时
7、，原方程化为x22x10，0，符合题意故a1.10答案 2解析 x26xk0的两个根分别为x1，x2，x1x26，x1x2k，3，解得k2.11答案 18解析 当2为底边长时，则ab，ab8，ab4.4，4，2能围成三角形，n244，解得n18.当2为腰长时，a，b中有一个为2，则另一个为6.6，2，2不能围成三角形，此种情况不存在故答案为18.12解：设方程的另一个根为t.由题意，得t，t，解得t4，m10.故另一个根为4，m的值为10.13解：(1)证明：x2(m3)xm0，b24ac(m3)241(m)m22m9(m1)280，方程有两个不相等的实数根(2)x2(m3)xm0，方程的两实
8、根为x1，x2，x1x2m3，x1x2m.x12x22x1x27，(x1x2)23x1x27，即(m3)23(m)7，解得m11，m22，即m的值是1或2.14解：(1)AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2(2k5)xk25k60的两个实数根，ABAC2k5，ABACk25k6，AB2AC2(ABAC)22ABAC(2k5)22(k25k6)4k220k252k210k122k210k13.若ABC是以BC5为斜边的直角三角形，则AB2AC2BC2，即2k210k1325，k25k60，k11，k26(不合题意，舍去)，即当k的值为1时，ABC是以BC为斜边的直角三角形(2)因为x2(2k
9、5)xk25k60，即(xk2)(xk3)0，x1k2，x2k3.若k25，k3，则k36，此时ABC的周长55616；若k35，k2，则k24，此时ABC的周长55414.综上，当k的值为3或2时，ABC是等腰三角形当k的值为3时，ABC的周长为16；当k的值为2时，ABC的周长为14.15解：不存在理由如下：根据题意得4k0，且b24ac(4k)244k(k2)0，k0.x1，x2是一元二次方程4kx24kxk20的两个实数根，x1x21，x1x2.(2x1x2)(x12x2)，2(x1x2)29x1x2，即2129，解得k，而k0，不合题意，舍去，不存在k的值，使(2x1x2)(x12x
10、2)成立16 解：(1)证明：b24ac(m3)24m250，无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根(2)x1，x2是原方程的两根，x1x2m3，x1x2m2.|x1|x2|2，|x2|x1|2，(|x2|x1|)2224，即x122|x1x2|x224.方程有两个不相等的实数根，且x1x2m2，x1x20，x12x222x1x24，即(x1x2)24，x1x22.x1x2m3，m32，解得m5或m1.当m1时，原方程为x22x10，解得x11，x21.当m5时，原方程为x22x250，解得x31，x41.17、解：(1)设x2y，则原方程可化为y2y60.分解因式，得(y2)(y3)0，解得y12，y23.当y2时，x22，此方程无实数根；当y3时，x23，解得x1，x2，原方程的根为x1，x2.(2)当mn时，则原式112；当mn时，则m，n是方程x27x20的两个不相等的实数根，mn7，mn2，原式.综上所述，原式的值是2或.故选D.(3)由题意知()2()3，y4y2(y2)2y23，y2是方程t2t3的根，解得t.0，y20，y2，y4()2(y2)2()2()27.第 7 页
