1、1.2.3 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)目标定位重点难点1.能利用导数的四则运算法则求导数2.理解复合函数的求导法则，并能求解简单的复合函数的导数重点：函数的和、差、积、商的导数难点：求乘积和分式形式函数的导数，求复合函数的导数1导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)_；(2)cf(x)_；(3)f(x)g(x)_；(4)fxgx _(g(x)0)f(x)g(x)cf(x)f(x)g(x)f(x)g(x)fxgxfxgxgx22复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为_，即y对x的导数等于y对u的导数
2、与u对x的导数的乘积yxyuux1若对任意的x有f(x)4x3，f(1)1，则此函数解析式为()Af(x)x4Bf(x)x42Cf(x)x41Df(x)x42【答案】B2曲线yxex在x1处切线的斜率等于()A2e Be C2 D1【答案】A【答案】D4若f(x)(2xa)2，f(2)20，则实数a_.【答案】13(2018年广东珠海阶段性测试)y exx1的导数是()Axexx13Bxexx13Cxexx12 Dxexx12求函数的导数【例1】求下列函数的导数(1)yx53x35x26；(2)y(2x23)(3x2)；(3)yx1x1；(4)ysinx212cos2x4.【解题探究】(1)利
3、用和、差的运算法则求导；(2)利用积的运算法则或先化简再利用和、差的运算法则求导；(3)利用商的运算法则求导；(4)先化简，再求导【解析】(1)y(x53x35x26)(x5)(3x3)(5x2)65x49x210 x.(2)(方法一)y(2x23)(3x2)(2x23)(3x2)4x(3x2)3(2x23)18x28x9.(方法二)y(2x23)(3x2)6x34x29x6，y18x28x9.(3)yx1x1 x1x1x1x1x12x1x1x122x12.(4)ysinx212cos2x4 sinx2cosx2 12sin x，y12sin x 12cos x.在求导时，对于简单的和、差、商
4、、积可以直接求导；但有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，可在求导前可将函数化简，然后再求导1求下列函数的导数(1)yxx21x1x3；(2)ysin4x4cos4x4；(3)yxnex；(4)ycos xsin x.【解析】(1)yx31x2，y3x22x3.(2)ysin2x4cos2x422sin2x4cos2x4112sin2x21121cos x23414cos x，y14sin x.(3)ynxn1exxnexxn1ex(nx)(4)ysin2xcos2xsin2x 1sin2x.求复合函数的导数【例2】求下列复合函数的导数(1)y(2x3)5；(2)y 3x；(3)ysin22x
5、3；(4)yln(2x5)【解题探究】首先分析所给函数的复合层次，然后结合复合函数的求导法则，并充分运用初等函数的求导公式进行求解【解析】(1)设u2x3，则y(2x3)5由yu5与u2x3复合而成yxyuux(u5)(2x3)5u4210u410(2x3)4.(2)设u3x，则y 3x由yu12与u3x复合而成yxyuux(u12)(3x)12u12(1)12u12 12 3x 3x2x6.(3)设yu2，usin v，v2x3，则yxyuuvvx2ucos v24sin2x3 cos2x3 2sin4x23.(4)设yln u，u2x5，则yxyuux，y12x5(2x5)22x5.复合函
6、数的求导时，要明确分步计算中对哪个变量求导，特别要注意中间变量的系数2求下列函数的导数(1)y x21；(2)ysin2 2x；(3)yexsin 2x;(4)yln 1x2.【解析】(1)y12 x212xxx21.(2)y(2sin 2x)(cos 2x)22sin 4x.(3)y(ex)sin 2xex(cos 2x)2ex(2cos 2xsin 2x)(4)y11x212 1x22xx1x2.【例3】已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积【解题探究】(1)先求出直
7、线l1的方程，再设出曲线与l2相切的切点坐标，表示出直线l2的方程，再由条件求解l2即可；(2)求l1与l2的交点及l1，l2与x轴的交点，即可求解三角形的面积导数的应用【解析】(1)由已知得y2x1，所以y|x13.所以直线l1的方程为y3x3.设直线l2与曲线yx2x2相切于点B(b，b2b2)，则l2的方程为y(b2b2)(2b1)(xb)，即y(2b1)xb22.因为l1l2，所以2b113，b23.所以直线l2的方程为y13x229.(2)解方程组y3x3，y13x229，得x16，y52.所以直线l1和l2的交点坐标为16，52.l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，223，
8、0.所以所求三角形的面积为S12253 52 12512.导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.方法是先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标3若函数f(x)exx 在xx0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于()A0B1C12D不存在【答案】C【解析】由f(x)exx，得f(x)xexexx2.由题意，得f(x0)f(x0)0，即ex0 x0 x0ex0ex0 x200，解得x012.求导法则运用错误【示例】求函数f(x)x x23xcos t的导数
9、【错解】因为f(x)x x23xcos t12x76 cos t，所以f(x)12(x76 cos t)12(x76)cos tx76 (cos t)712x16 cos t12x76 sin t.【错因分析】在此题中，y是关于x的函数，而cos t是常数【正解】因为f(x)x x23 xcos t12x76 cos t，所以f(x)12(x76 cos t)12cos t(x76)712x16 cos t.【警示】含参数的函数求导时，先明确变量与常数，再根据求导规则求导，避免求导时出现错误1牢记常用函数的导数公式和运算法则2求函数的导数时为简化运算经常先化简再求导3应用函数的和、差、积、商的
10、求导法则求复杂函数的导数难点是商求导法则的理解与应用，易与积的求导法则混淆解题时可以先运用函数式的恒等变形，尽可能避免使用商的求导法则，减少运算量，学习中应适时进行归纳总结4对复合函数的求导，需注意以下几点：(1)分清复合函数的复合关系，即是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，如求ysin22x3 的导数，设yu2，usin v，v2x 3，则yxyuuvvx2ucos v24sin2x3 cos2x3 2sin4x23.熟练后也可省略中间步骤1已知函数f(x)x4ax2bx，若f(0)13，f(1)27，则ab等于()A18 B18C
11、8D8【答案】A【答案】A2(2017年内蒙古包头期末)已知f(x)excos x，则f2 的值为()Ae2 Be2 C0 De3.已知 f(x)cos xsin 3x，则 f(x)()Acos xcos 3x3sin xsin 3xBcos xcos 3x3sin xsin 3xC3cos xcos 3xsin xsin 3xD3cos xcos 3xsin xsin 3x【答案】D4(2019年四川成都模拟)已知函数f(x)x32x22x，若存在满足0 x03的实数x0，使得曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线与直线xmy100垂直，则实数m的取值范围是_【答案】2,6 【解 析】f(x)x2 4x 2 (x 2)2 6.因 为x00,3，所以f(x0)2,6.又因为切线与直线xmy100垂直，所以切线的斜率为m，所以m的取值范围是2,6
