1、第2课时 函数的最大值、最小值 喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究 函数的最大值与最小值.1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；(重点）2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（难点）逻辑推理：通过具体函数单调性的证明，培养逻辑推理的核心素养 体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂t()f tO24102016235128下图为某天的气温f(t)随时间t变化图,请指出单调区间.0,2,1 0,1 6,2 0,2 4 2,1 0,1 6,2 0最高气温：_最低气
2、温：_12 C3C递增区间递减区间1.观察下列两个函数的图象：yxox0图2MB微课1 函数的最大值【提示】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点.思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?【提示】f(x)M 思考1 这两个函数图象有何共同特征？最高点的纵坐标即是函数的最大值！当一个函数f(x)的图象有最高点时，就说函数f(x)有最大值.xyO1314函数在_上为增函数，_上为减函数;图象有_(最高（低）)点，坐标为_.223yxx 2.观察下面函数的图象，并回答问题,4xRy
3、对任意所以 y=4 是所有函数值中最大的，故函数 f(x)有最大值4.1,)(,1 1,4最高函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义 域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.可以这样理解：函数的最大值是所有函数值中最大的一个，并且是能够取到的.函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函数f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的xR，都有f(x)f(0)函数最大值的“形”的定义：当一个函数的图象有最高点时，我们就说这个函数有
4、最大值.当一个函数的图象无最高点时，我们就说这个函数没有最大值.函数 f(x)x26x8 在2,1上的最大值是()A8 B13 C17 D8 【解析】选 B.f(x)x26x8(x3)217，函数 f(x)在2,1上是增函数 f(x)的最大值为 f(1)13.【即时训练】B 函数 f(x)x26x8 在2,5上的最大值是()A8 B13 C17 D8 【解析】选 C.f(x)x26x8(x3)217，函数 f(x)在2,5上的最大值为 f(3)17.【互动探究】【解题关键】根据函数在区间上的单调性求解。C 图1yox0 xmxyox0图2m1.观察下列两个函数的图象：微课2 函数的最小值 思考
5、:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？提示：函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值,即函数的最小值.2.函数在_上为增函数，_上为减函数；图象有_(最高（低）)点坐标为_.223yxx观察下面函数的图象，并回答问题xyO1314,4xRy 对任意 所以y=-4是所有函数值中最小的,故函数有最小值-4.,1 1,最低1,4当一个函数f(x)的图象有最低点时，就说函数f(x)有最小值.仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？提示：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，如果存在x0A,使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0),那么称f(x0)为函数y=f
6、(x)的最小值，记为ymin=f(x0).思考交流 函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定 义域为I，如果存在实数N满足：（1）对任意的 ，都有f(x)N；（2）存在 ，使得f(x0)=N.那么，我们称N是函数y=f(x)的最小值.xI0 xI可以这样理解：函数的最小值是所有函数值中最小的一个，并且是能够取到的.函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于函数f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的xR，都有f(x)f(0).最小值的“形”的定义：当一个函数的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值.当一个函数的图象没有最低点时，我
7、们就说这个函数没有最小值.下列函数是否存在最大值、最小值？函数在何处取得最大值和最小值,并求出其值.(1)2,()yxxR(2)2,(13)yxx(3)2,(13)yxx没有 当x=1时取得最小值2；当x=3时取得最大值6.当x=1时取得最小值2；没有最大值【即时训练】1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 使得 .并不是所有满足 的函数都有 最大值M.如函数 ,虽然对定义域上 的任意自变量都有 ，但1不是函数的最大值.0,xI0 f xM()f xM(),(1,1)f xx x()1f x2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小
8、的函数值.【提升总结】例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般 是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高 度h(m)与时间t(s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时 距地面的高度是多少（精确到1 m）？分析：烟花的高度h是时间t的二次函数，根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，以及这个最大值是多少.显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象.由二次函数的知识，对于函数 我们有：2
9、()4.914.718 h ttt214.71.52(4.9)4(4.9)18 14.729.4(4.9)th 当时，函数有最大值于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=-x2+21x和L2=2x，其中x为销售量（单 位：辆）.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大 利润为()A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元 提示:设公司在甲地销售品牌车x辆,则在乙地销售品牌车(15-x)辆,根据利润函数表示出利润,利用配方法求出函数的最值.C【变式练习】【解析】选C.设公司在
10、甲地销售品牌车x辆，则在乙地销 售品牌车（15-x）辆，根据题意得，利润y=-x2+21x+2（15-x）=x是正整数，x=9或10时，能获得最大利润，最大利润为120万元 219481(x)24)1)(1()(2)1)(1()1()1(21212)()(121212122121xxxxxxxxxxxfxf由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是)()(,0)()(2121xfxfxfxf即所以，函数是区间2,6上的减函数.12 xy解：任取x1,x2 2,6，且x1x2例2.已知函数 ，求函数的最大 值和最小值.2()(2,6)1f xxx因此,函数在区间2,6上的两个端点上分别取
11、得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4.12 xy利用函数的单调性来求函数的 最大值与最小值是一种十分常用的方法，要注意掌握.【总结提升】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点.因此解题过程分为两个部分，先证明函数在2，6上是减函数，再求这个函数的最大值和最小值.函数 y 3x2(x2)在区间0,5上的最大值、最小值分别是()A.37，0 B.32，0 C.32，37 D最小值为14，无最大值 【解析】选 C.因为函数 y 3x2在区间0,5上单调递减，所以当 x0 时，ymax32，当 x5 时，ymin
12、37.【变式练习】C 例3(2017浙江高考T5)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关(2)若 12-2a 1,即-2a-1 时,f(x)max=f(0)=b,f(x)min=f2a=b-24a,此时 M-m=b-24ab=24a.(3)若 0-2a 12,即-1a0 时,f(x)max=f(1)=a+b+1,f(x)min=f2a=b-24a,此时 M-m=a+b+1-24ab=1+a+24a.(4)若-2a 0,即 a0 时,f(x)max=f
13、(1)=a+b+1,f(x)min=f(0)=b,此时 M-m=a+b+1-b=1+a.综上,M-m 与 a 有关,而与 b 无关.【反思总结】二次函数中的“动轴定区间”问题,大体上分为三类去讨论:一是对称轴在区间的右侧,二是对称轴在区间的左侧,三是对称轴在区间之间.对这三种情况,画图分析最值.1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2.利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数的单调性判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b
14、，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；【总结提升】判断函数的最大(小)值的方法：已知函数f（x）=-x2+6x+9在区间a，b，（ab3）上有最大值9，最小值-7，求实数a，b的值 【解析】因为y=-（x-3）2+18 因为ab3，所以当x=a时，函数取得最小值ymin=-7；当x=b时，函数取得最大值ymax=9；即 解得：a=8或-2；b=0或6又因为ab3，所以a=-2；b=0 22a6a97,b6b99,【变式练习】利用函数的单调性 求函数的最值图象法 函数的最大值在最高点取得 先确定或证明单调函数的单调性及 相应的单调区间，再求函数在何处 取得最大值或最小值 注
15、意：两种方法经常结合应用 1.函数 f(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()Af(2),0 B0,2 Cf(2),2 Df(2),2 C 2.函数 在区间 上的最大值是_;最小值是_.5yx5252,1【解析】函数 在-2,-1上为减函数，当x=-2时，y=；当x=-1时，y=-5，所以函数 在x-2,-1上的最大值为 ,最小值为-5.答案:5yx5yx52525253.函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-，6内递减，则a的取值范围是()A.a3 B.a3 C.a-3 D.a-3 D【解析】选D.二次函数的对称轴为x=-2a 故只需-2a6,即a-3 4已知关于
16、 x 的不等式 x2xa10 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是()A.，54 B.，54 C.54，D.54，【解析】选 D.记 f(x)x2xa1，则原问题等价于二次函数 f(x)x2xa1 的最小值大于或等于 0.而 f(x)x122a54，当 x12时，f(x)mina54，所以 a540，求得 a54.D 5.把长为 12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A.332cm2 B.4cm2 C.3 2cm2 D.2 3 cm2 解析：选 D.设一个三角形的边长为 x cm，则另一个三角形的边长为(4-x)cm，两个三角形的面积和为 S，则 S=34 x2+34(4-x)2=32(x-2)2+2 32 3.当 x=2 时，S 取最小值2 3cm2.D 在科学上进步而道义上落后的人，不是前进，而是后退.亚里士多德
