1、2圆与圆的方程21圆的标准方程考纲定位重难突破1.掌握确定圆的几何要素2.掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程3.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径.重点：掌握圆的标准方程的形式难点：利用待定系数法求圆的标准方程疑点：准确把握方程与曲线间的对应关系.授课提示：对应学生用书第47页自主梳理一、确定圆的条件1几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于定长2定圆的条件：圆心和半径二、圆的标准方程三、点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系drdrdr3，所以点A在圆外答案：C4若点A(a1,3)在圆C：(x
2、a)2(y1)2m外，则实数m的取值范围是()A(0，) B(，5)C(0,5) D0,5解析：由题意，得(a1a)2(31)2m，即m5，又易知m0，0m5，故选C.答案：C5已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，半径是圆心到直线xy30的距离，则圆C的标准方程为_解析：直线xy10与x轴的交点为C(1,0)，圆心到直线xy30的距离等于半径，即r，所以圆C的标准方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y22授课提示：对应学生用书第47页探究一直接法求圆的标准方程典例1求满足下列条件的圆的标准方程(1)圆心为(2，2)，且过点(6,3)(2)过点A(4，5)，B(6，1)且以线段AB为直
3、径(3)圆心在直线x2上且与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)解析(1)由两点间距离公式得r，所求圆的标准方程为(x2)2(y2)241.(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，3)又|AB|2，半径r.所求圆的标准方程为(x1)2(y3)229.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，3)，半径r，圆的方程为(x2)2(y3)25.1直接法求圆的标准方程，就是根据已知条件求出圆心坐标和半径，然后写出标准方程2求圆的圆心坐标与半径时，常利用以下圆的性质：(1)圆的任何一条弦的垂直平分线经过圆心；(2)圆心到切线之间的距离等于半径；(3)圆心与切点的连线长等于半径；(4)圆心与切点的连线与切线垂直
4、1求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心为(3,4)，半径等于；(2)圆心为(1，3)，经过点(3，1)；(3)圆心为(2，5)，且与直线4x3y30相切解析：(1)圆的标准方程为(x3)2(y4)22.(2)由两点间距离公式可得圆的半径r2，于是圆的标准方程为(x1)2(y3)220.(3)圆的半径即为圆心(2，5)到直线4x3y30的距离，由于d4，于是圆的标准方程为(x2)2(y5)216.探究二待定系数法求圆的标准方程典例2在平面直角坐标系中，求与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为的圆的标准方程解析解法一设圆的标准方程为(xa)2(yb)25.因为点A，B在圆上，所以可
5、得到方程组：解得所以圆的标准方程是(x3)2(y1)25或(x3)2(y1)25.解法二由于A、B两点在圆上，那么线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识知这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x3上，于是可以设圆心为C(3，b)，由AC得.解得b1或b1.因此，所求圆的标准方程为(x3)2(y1)25或(x3)2(y1)25.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：(1)设所求的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2；(2)根据题意，建立关于a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出a，b，r的值；(4)将a，b，r代入所设的圆的方程中，即得所求2.如图所示，ACB为一弓形，且A，B，C的坐标分别为(4
6、,0)，(4,0)，(0,2)，求弓形所在圆的标准方程解析：由题意得圆心在弦AB的中垂线上，圆心在y轴上，设圆心为P(0，b)，连接AP(图略)，|AP|CP|，|2b|，解得b3，圆心为P(0，3)，半径r|CP|5，圆的标准方程为x2(y3)225.探究三点与圆位置关系的判定及应用典例3(1)圆的直径的两个端点为(2,0)，(2，2)，求此圆的方程，并判断A(5,4)，B(1,0)是在圆上、圆外，还是在圆内；(2)若点P(2,4)在圆(x1)2(y2)2m的外部，求实数m的取值范围解析(1)由已知得圆心坐标为C(2，1)，半径r1.所以圆的方程为(x2)2(y1)21.因为|AC|1，|B
7、C|1，所以A，B两点都在圆外(2)由于点P(2,4)在圆外，所以有(21)2(42)2m，解得m0，因此实数m的取值范围是0mr2，点在圆外；(x0a)2(y0b)2r2，点在圆上；(x0a)2(y0b)2r2，点在圆内3已知两点A(4,9)，B(6,3)，(1)求以AB为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在(1)中所求圆的圆上，圆内，还是圆外解析：(1)设圆心为C(a，b)，半径为r(r0)，由C为线段AB的中点得a5，b6.又由两点间的距离公式得r|AC|.所以所求圆的方程为(x5)2(y6)210.(2)分别计算点到圆心C的距离：|MC|；|NC|
8、；|QC|3.因此，点M在圆上，点Q在圆内，点N在圆外因考虑不全面致使所求圆的方程漏解典例已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且与y轴的一个交点是(0,4)，则圆的标准方程是()A(x3)2y225B(x3)2y225C(x3)2y225 D(x3)2y25解析因为圆的圆心在x轴上，半径为5，故可设圆的标准方程为(xa)2y225，又圆与y轴的一个交点为(0,4)，所以(0a)24225，解得a3，故所求圆的标准方程为(x3)2y225.答案C错因与防范本题易错选答案D、A或B，错选D是圆的标准方程记忆不准确，将方程右边的r2记成r而出错；错选A或B是对a的值漏解圆的标准方程的特点：等号左边是平方
9、和的形式，右边是半径的平方而非半径，即圆的标准方程中各量都是二次的随堂训练对应学生用书第48页1圆心是C(2，3)，且经过原点的圆的方程为()A(x2)2(y3)213B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)2D(x2)2(y3)2解析：由已知得半径r，又圆心坐标为(2，3)，故圆的方程是(x2)2(y3)213.答案：B2若圆(x3)2(y3)24关于直线l：Ax4y60对称，则直线l的斜率是()AB.C D6解析：圆心坐标为(3，3)，由题意知圆心在直线Ax4y60上，A34(3)60，解得A6，则直线l的斜率k，故选A.答案：A3若点(3，)在圆x2y216的内部，则实数a的取值范围是_解析：依题意得32()216，所以a7，又a0，因此a的取值范围是0a7.答案：0a0)，则解得所以圆C的方程为(x2)2y210.答案：(x2)2y2105已知一条直线与圆C相交于点P(1,0)和Q(0,1)(1)求圆心所在直线的方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程解析：(1)由已知得PQ的中点为M，kPQ1，因此圆心所在直线过点，且斜率为1，故圆心所在的直线方程为yx.(2)由条件设圆的方程为(xa)2(yb)21，由圆过P，Q点得解得或所以圆C的方程为x2y21或(x1)2(y1)21.
