1、2实际问题的函数建模内容标准学科素养1.会利用已知函数模型解决实际问题2.能建立函数模型解决实际问题.精确数据分析强化数学运算熟练数学建模授课提示：对应学生用书第71页基础认识知识点一常见函数模型(1)斜率k的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？在幂函数模型的解析式中，的正负如何影响函数的单调性？提示：k0时直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k0时直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小当x0，0时，函数的图像在第一象限内是上升的，在(0，)上为增函数；当x0，0时，函数的图像在第一象限内是下降的，在(0，)上为减函数(2)依据散点图选择函数模型时主要依据函数的什么性质？数据拟合时，
2、得到的函数为什么需要检验？提示：主要依据函数的单调性及函数值增长速度的快慢因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图选择我们比较熟悉的、最简单的函数进行拟合，但用得到的函数进行估计时，可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型知识梳理常见函数模型常用函数模型(1)一次函数模型ykxb(k，b为常数，k0)(2)二次函数模型yax2bxc(a，b，c为常数，a0)(3)指数函数模型ybaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)(4)对数函数模型ymlogaxn(m，a，n为常数，m0，a0且a1)(5)幂函数模型yaxnb(a，b为常数，a0)(6)分段函数模型y知识点二解决函数
3、应用问题的基本步骤知识梳理利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原这些步骤用框图表示如图：自我检测1今有一组数据，如下表所示：x12345y356.999.0111下列函数模型中，最接近的表示这组数据满足的规律的一个是()A指数函数 B反比例函数C一次函数 D二次函数解析：画出散点图，如图所示：观察散点图，可见各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示答案：C2某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是()Ay2x By2x1 Cy2x Dy2x1解析：分裂
4、一次后由2个变成2222(个)，分裂两次后变成4223(个)，分裂x次后变成y2x1个答案：D3某汽车在一时间段内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q0.002 5v20.175v4.27，则车速为_km/h时，汽车的耗油量最少解析：Q0.002 5v20.175 v4.270.002 5(v270v)4.270.002 5(v35)23524.270.002 5(v35)21.207 5.故v35 km/h时，耗油量最少答案：35授课提示：对应学生用书第71页探究一一次函数、二次函数模型例1某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销
5、售量y件之间有如下关系：销售单价x(元)30404550日销售量y(件)6030150(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式yf(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润思路点拨依据(x，y)的关系f(x)是一次函数建立P的函数关系利用二次函数的性质求最值解析实数对(x，y)对应的点如图所示，由图可知y是x的一次函数(1)设f(x)kxb，则解得f(x)3x150,30x50，检验成立(2)P(x30)(3x150)3x2240x4 500,3
6、0x50，对称轴x4030,50当销售单价为40元时，所获利润最大方法技巧一次函数、二次函数均是重要的函数模型，特别是二次函数模型在函数建模中占有重要的地位利用二次函数求最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符跟踪探究1.某校高一(2)班共有学生51人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元，若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水，经测算和市场调查，其年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用228元，其中，纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y(桶)之间满足如图所示关系(1)求y关于x的函数关系式；(2)当a120时，若该班每年需要纯净水380桶，请你
7、根据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理由；(3)当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？解析：(1)设ykxb(k0)，x8时，y400；x10时，y320.解之得y关于x的函数关系式为y40x720(x0)(2)该班学生买饮料每年总费用为511206 120(元)当y380时，38040x720，得x8.5，该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为3808.52283 458(元)，所以，饮用桶装纯净水的年总费用少(3)设该班每年购买纯净水的费用为P元，则Pxyx(
8、40x720)40(x9)23 240，当x9时，Pmax3 240.要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少，则51aPmax228，解得a68，故a至少为68元时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少探究二指数型函数、对数型函数模型例2某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算经过多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)(参考数据：1.01291.113
9、,1.012101.127，lg 1.20.079，lg 20.301 0，lg 1.0120.005)解析(1)2009年底人口总数为100万人，经过1年，2010年底人口总数为1001001.2%100(11.2%)，经过2年，2011年底人口总数为100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2，经过3年，2012年底人口总数为100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3，所以经过x年后，该城市人口总数为100(11.2%)x，所以y100(11.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为100(11.2%)10112.7(万人)(3)由
10、题意得100(11.2%)x120，两边取常用对数得lg100(11.2%)xlg 120，整理得2xlg 1.0122lg 1.2，得x16，所以大约16年以后，该城市人口将达到120万人方法技巧指数型函数模型：ymaxb(a0且a1，m0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示对数型函数模型：ymlogaxc(m0，a0且a1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解跟踪探究2.燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)计
11、算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解析：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得05log2.解得Q10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位(2)将耗氧量Q80代入公式得：v5log25log2815(m/s)，即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/s.探究三分段函数模型例3某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额(元)的范围188,388(388,588(588,888(888,1 188获得奖券的
12、金额(元)285888128根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元于是，该顾客获得的优惠额为：4000.228108元设购买商品得到的优惠率.试问：(1)购买一件标价为1 000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？(2)当商品的标价为100,600元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；(3)当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过35%的优惠率？若可以，请举一例；若不可以，试说明你的理由思路点拨结合实例计算(1)；当x100,235)，235,485，(
13、485,600，求y与x的关系式；在(2)的基础上计算每一段上的优惠率，分析是否达到35%.解析(1)由题意，标价为1 000元的商品消费金额为1 0000.8800元，故优惠额为：1 0000.288288元，则优惠率为28.8%.(2)由题意，当消费金额为188元时，其标价为235元；当消费金额为388元时，其标价为485元；当消费金额为588元时，其标价为735元由此可得，当商品的标价为100,600元时，顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式为：y(3)当x(0,235)时，优惠率即为：20%；当x235,485时，优惠率为：y0.2，此时的最大优惠率为0.20.31935%.
14、当x(485,600时，优惠率为：y0.2，此时的优惠率y0.20.3235%；综上，当顾客购买不超过600元商品时，可得到的优惠率不会超过35%延伸探究如果此人实际消费1 000元，问该人得到优惠额共多少元？解析：此人得到的优惠额为：0.2128378元方法技巧1.分段函数模型是日常生活中常见的函数模型对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的自变量的取值范围，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”2解决分段函数问题需注意几个问题：(1)所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域(2)求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区
15、间上的解析式来计算函数值(3)一般地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段的自变量的取值范围跟踪探究3.如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD2，BC1，BAD45，直线MNAD交AD于M，交折线ABCD于N，记AMx，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域和值域解析：如图，过B，C分别作AD的垂线，垂足分别为H和G，则AH，AG，当M位于H左侧时，AMx，MNx，ySAMNx2,0x.当M位于H，G之间时，yAHHBHMMNx，x.当M位于G，D之间时，yS梯形ABCDSMDN(21)(2x)(2x)x22x，x2.所求函数的关系式为y函数的定义域为0
16、,2，值域为.探究四拟合函数模型的应用例4环境污染已经严重危害人们的健康，某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：月数1234污染度6031130污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模型从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)20|x4|(x1)，g(x)(x4)2(x1)，h(x)30|log2x2|(x1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由解析用h(x)模拟比较合理理由：因为f(2)40，g(2)26.7，h(2)30，f(3)20，g(3)6.7
17、，h(3)12.5.由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理方法技巧对于此类实际应用问题，关键是先建立适当的函数关系式，再解决数学问题，然后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题函数拟合与预测的一般步骤是：(1)能够根据原始数据、表格，描出数据点(2)通过数据点，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的因此，使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了(3)根据所学函数知识，求出
18、拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据跟踪探究4.为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积y(hm2)随积雪深度x(cm)变化的图像；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函
19、数模型yf(x)，并画出图像；(3)根据所建立的函数模型，求最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉的土地数量解析：(1)描点作图如图甲甲乙(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型yaxb(a0)取其中的两组数据(10.4，21.1)，(24.0,45.8)，代入yaxb，得用计算器可算得a1.8，b2.4.这样，我们得到一个函数模型y1.8x2.4.作出函数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系(3)由y1.8252.4，求得y47.4，即当最大积雪深度为25
20、 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2.授课提示：对应学生用书第74页课后小结1函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题2在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求3在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化4根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如图所示素养培优忽略实际情况对函数定义域的限制致误易错案例：
21、如图所示，在矩形ABCD中，已知ABa，BCb(ba)，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AEAHCGCFx.问：当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积易错分析：利用函数解决实际问题时，要遵循定义域优先的原则，即必须考虑到自变量的实际意义，否则会出现错解考查数据分析、数学建模等学科素养自我纠正：设四边形EFGH的面积为S，则Sab22x2(ab)x22，x(0，b因为0ba，所以0b.若b，即a3b，则当x时，S有最大值；当b时，即a3b时，易知函数在(0，b上是增函数，所以当xb时，S有最大值abb2.综上可得，当a3b，x时，S有最大值；当a3b，xb时，S有最大值abb2.
