1、1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题目标定位重点难点1.理解并掌握平均变化率的概念2.会求函数在指定区间的平均变化率3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题重点：平均变化率的概念及运用难点：深刻理解平均变化率的概念，并能应用解决实际问题1平均变化率的概念当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是_；在高台跳水运动中，运动员在tt1，t2这段时间里的平均速度是 v _.rV2rV1V2V1ht2ht1t2t12函数的变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率是_，习惯上用x表示x2x1，可把x看作是相对于x1的一个_，可用_代替x2；类似地，y_.因此，函数f(x)的平均变化
2、率可以表示为_fx2fx1x2x1增量x1xf(x2)f(x1)yx3平均变化率的几何定义函数yf(x)的平均变化率 yx fx2fx1x2x1的几何意义：表示连接函数yf(x)图象上两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)的割线的_斜率1在求平均变化率中，自变量的增量x满足()Ax0Bx0Cx0Dx0【答案】D2一物体运动方程是s2t2，则从2到(2t)这段时间内位移的增量s为()A8B82tC8t2(t)2D4t2(t)2【答案】C3(2018年辽宁大连双基训练)设函数yf(x)x23，当自变量x由2变为2.1时，函数的平均变化率为()A0 B2 C2.1 D4.1【答案】D4设函数yf
3、(x)，当自变量x由x0改变到x0 x时，函数值的改变量y_.【答案】f(x0 x)f(x0)【例1】若自变量x的增量为x，求下列函数的增量y.(1)yaxb；(2)yln x.【解题探究】直接利用概念求解求函数的平均变化率【解析】(1)yf(xx)f(x)a(xx)b(axb)ax.(2)yf(xx)f(x)ln(xx)ln xln1xx.2.求平均变化率时，先计算自变量和函数值的改变量xx1x0，yf(x1)f(x0)，再利用公式yxf(x1)f(x0)x1x0求出平均变化率.求y时，要把f(xx)和f(x)表示出来，再作差变式训练 1.求函数 yx3 从 x0 到 x0 x 之间的平均变
4、化率，并计算当 x01，x12时平均变化率的值解：当自变量从 x0变化到 x0 x 时，函数的平均变化率为yxf x0 xf x0 xx0 x3x30 x3x203x0 x(x)2.当 x01，x12时平均变化率的值为 3123112122194.【例2】甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的速度哪个快【解题探究】转化为平均变化率的大小关系速度的大小比较【解析】由题图知，在相同的时间t内，两人走过的路程在t0处s1(t0)s2(t0)，但 s1t0s1t0tt s2t0s2t0tt，所以在单位时间内乙的速度比甲的速度快在实际问题中，平均变化率有不同的名称比如
5、物体的平均速度、气球膨胀率等2自由落体运动的方程是s12gt2(g9.8 m/s2)，求物体在t1 s到t3 s时的平均速度【解析】st12g3212g12312 g19.6(m/s)不理解平均变化率的概念致误【示例】求函数y2x25在区间2,2x内的平均变化率【错 解】y 2(2 x)2 5 (222 5)8x 2(x)2，平均变化率为8x2(x)2.【错因分析】平均变化率为yx.在式子yxfx2fx1x2x1中，y与x是相对应的“增量”，即在xx2x1时，yf(x2)f(x1)正确运用公式，解答过程中注意计算的准确性【正解】y2(2x)25(2225)8x2(x)2，平均变化率为yx82x
6、.【警示】求平均变化率要严格遵循其步骤，先计算x，再计算y，最后求商yx.1求函数的平均变化率时，应注意f(x)在x1处有定义，x0.2平均变化率可正可负，也可以为零3求平均变化率时要注意变量的对应，即yxfx2fx1x2x1.1(2017年安徽蚌埠期中)函数yx2在区间1,2上的平均变化率为()A4 B5 C2 D3【答案】D【解析】yf(2)f(1)22123，则其平均变化率为yx 3213.故选D2(2015年河南南阳月考)质点运动规律st23，则在时间(3,3t)中，质点的平均速度等于()A6tB6t 9tC3tD9t【答案】A【解析】s(3t)23(323)6t(t)2，则平均速度为st6tt23t3 6t.故选D3球的半径从 1 增加到 2 时，球的体积平均膨胀率为()A203B233 C263D283【答案】D【解析】y43234313283，yx28321283.4已知函数f(x)x2x在区间1，t上的平均变化率是2，则t_.【答案】2【解析】yf(t)f(1)t2t，平均变化率为yxt2tt1 2，解得t2.
