1、第二章推理与证明23 数学归纳法第23课时 数学归纳法的应用基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1.能够运用数学归纳证明一些较复杂的命题.2.能够运用数学归纳证明一些开放性命题.基础巩固1(20 分)用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)n3n12(nN*)证明：(1)当 n1 时，左边2，右边13122，等式成立(2)假设当 nk(kN*)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)k3k12，则当 nk1 时，左边(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)(k1)(k2)(kk)3k2k3k123k23k27k42k13k42k13k112，nk1 时，等式成立由(1)和(2)知，对任
2、意 nN*，等式成立2(20 分)若 n 为大于 1 的自然数，求证：1n1 1n2 12n1324.证明：(1)当 n2 时，121 122 7121324，不等式成立(2)假设当 nk(kN*)时成立，即 1k1 1k2 12k1324.则当 nk1 时，1k2 1k3 12k12k112k2 1k11k1132412k112k21k1132412k112k21324122k1k11324.综合(1)(2)知原命题成立3(20 分)在平面内有 n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点求证：这 n 条直线将它们所在的平面分成n2n22个区域证明：(1)n2 时，两
3、条直线相交把平面分成 4 个区域，命题成立(2)假设当 nk(k2，kN*)时，k 条直线将平面分成k2k22个区域当 nk1 时，设其中的一条直线为 l，其余 k 条直线将平面分成k2k22个区域，直线 l 与其余 k 条直线相交，得到 k 个不同的交点，这 k 个点将 l 分成(k1)段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增(k1)个区域从而 k1 条直线将平面分成k2k22k1k12k122个区域所以 nk1 时命题也成立由(1)(2)可知，原命题成立4(20 分)设函数 yf(x)，对任意实数 x，y 都有 f(xy)f(x)f(y)2xy.(1)求 f(0)的值；(2)若 f(1)
4、1，求 f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想 f(n)(nN*)的表达式并用数学归纳法证明解：(1)令 xy0，得 f(00)f(0)f(0)200，得 f(0)0.(2)由 f(1)1，得f(2)f(11)f(1)f(1)2114；f(3)f(21)f(2)f(1)2219；f(4)f(31)f(3)f(1)23116.(3)由(2)可猜想 f(n)n2(nN*)用数学归纳法证明如下：当 n1 时，f(1)112 显然成立假设当 nk(kN*)时，猜想成立，即 f(k)k2，则当 nk1 时，f(k1)f(k)f(1)2kk212k(k1)2，故当 nk1 时，猜想
5、也成立由可得，对一切 nN*都有 f(n)n2 成立能力提升5(20 分)函数 f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1 是过两点 P(4,5)，Qn(xn，f(xn)的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标(1)求证：2xnxn13；(2)求数列xn的通项公式解：(1)用数学归纳法证明：当 n1 时，x12，直线 PQ1 的方程为 y5f2524(x4)，令 y0，解得 x114，所以 x2114，所以 2x1x23，结论成立假设当 nk(kN*)时，结论成立，即 2xkxk13，那么，当 nk1 时，直线 PQk1 的方程为 y5fxk15xk14(x4)，令 y0，解得 x34xk12xk1，即 xk234xk12xk1.由归纳假设知：xk234xk12xk1 452xk10，即 xk1xk2，所以 2xk1xk23，即当 nk1 时结论成立由知对任意的正整数 n,2xnxn13.(2)由(1)及题意得 xn134xn2xn，设 bnxn3，则 1bn1 5bn1，1bn11451bn14，数列 1bn14是以34为首项，5 为公比的等比数列因此，1bn14345n1，即 bn435n11，所以数列xn的通项公式为 xn3435n11.谢谢观赏！Thanks!
