1、1.如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点证明：(1)AECD；(2)PD平面 ABE.证明：AB、AD、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设 PAABBC1，则 P(0，0，1)(1)ABC60，ABBC，ABC 为正三角形 C(12，32，0)，E(14，34，12)设 D(0，y，0)，由 ACCD，得ACCD 0，即 y2 33，则 D(0，2 33，0)，CD(12，36，0)又AE(14，34，12)，AECD 1214 36 34 0，AECD，即 AECD.(2)P(0，0，1)，
2、PD(0，2 33，1)又AEPD 34 2 33 12(1)0.PD AE，即 PDAE.AB(1，0，0)，PD AB0.PDAB，又 ABAEA，PD平面 AEB.2.(2015汕头模拟)如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，BB1 2，M 是线段 B1D1 的中点(1)求证：BM平面 D1AC；(2)求证：D1O平面 AB1C.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点 O(1，1，0)，D1(0，0，2)OD1(1，1，2)又点 B(2，2，0)，M(1，1，2)，BM(1，1，2)，OD1 BM
3、.又OD1 与 BM 不共线，OD1BM.又 OD1平面 D1AC，BM平面 D1AC，BM平面 D1AC.(2)连接 OB1，点 B1(2，2，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，OD1 OB1(1，1，2)(1，1，2)0，OD1 AC(1，1，2)(2，2，0)0，OD1 OB1，OD1 AC，即 OD1OB1，OD1AC，又 OB1ACO，D1O平面 AB1C.3.如图，在四面体 A-BCD 中，AD平面 BCD，BCCD，AD2，BD2 2，M 是 AD的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ3QC.证明：PQ平面 BCD.证明：如图，取 BD 的中点
4、O，连接 OP，以 O 为原点，OD，OP所在射线为 y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz.由题意知，A(0，2，2)，B(0，2，0)，D(0，2，0)设点 C 的坐标为(x0，y0，0)因为AQ 3QC，所以 Q(34x0，24 34y0，12)因为 M 为 AD 的中点，故 M(0，2，1)又 P 为 BM 的中点，故 P(0，0，12)，所以PQ(34x0，24 34y0，0)又平面 BCD 的一个法向量为 a(0，0，1)，故PQ a0.又 PQ平面 BCD，所以 PQ平面 BCD.4.如图，已知 AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACD 为等边三角形，ADDE2AB，
5、F 为 CD 的中点(1)求证：AF平面 BCE；(2)求证：平面 BCE平面 CDE.证明：(1)设 ADDE2AB2a，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，3a，0)，E(a，3a，2a)F 为 CD 的中点，F32a，32 a，0.AF32a，32 a，0，BE(a，3a，a)，BC(2a，0，a)AF12(BEBC)，AF平面 BCE，AF平面 BCE.(2)AF32a，32 a，0，CD(a，3a，0)，ED(0，0，2a)，AFCD 0，AFED 0，AFCD，AFED.又 CDDED，AF平面 CDE，即 A
6、F平面 CDE.又 AF平面 BCE，平面 BCE平面 CDE.1.如图所示，在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，E、F 分别是 PC、PD 的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面 PAB；(2)求证：平面 PAD平面 PDC.证明：(1)以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，E12，1，12，F0，1，12.EF12，0，0，AP(0，0，1)，AD(0，2，0)，DC(1，0，0)
7、，AB(1，0，0)EF12AB，EFAB，即 EFAB.又 AB平面 PAB，EF平面 PAB，EF平面 PAB.(2)APDC(0，0，1)(1，0，0)0，AD DC(0，2，0)(1，0，0)0，APDC，AD DC，即 APDC，ADDC.又 APADA，DC平面 PAD.又DC平面 PDC，平面 PAD平面 PDC.2如图(1)所示，在 RtABC 中，C90，BC3，AC6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DEBC，DE2，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1CCD，如图(2)所示(1)求证：A1C平面 BCDE；(2)线段 BC 上是否存在一点 P，使平
8、面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由解：(1)证明：ACBC，DEBC，DEAC，DEA1D，DECD，DE平面 A1DC，DEA1C.又A1CCD，A1C平面 BCDE.(2)线段 BC 上不存在一点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直理由如下：如图所示，以 C 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Cxyz，则 A1(0，0，2 3)，D(0，2，0)，B(3，0，0)，E(2，2，0)假设这样的点 P 存在，设其坐标为(p，0，0)，其中 p0，3，设平面A1BE 的法向量为 n(x，y，z)，则 nA1B 0，nBE0.又因为A1B(3，0，2 3)，BE(1，2，0)，
9、所以 3x2 3z0，x2y0.令 y1，则 x2，z 3，所以 n(2，1，3)设平面 A1DP 的法向量为 m(x1，y1，z1)，则 mA1D 0，mDP 0.又因为A1D(0，2，2 3)，DP(p，2，0)，所以2y12 3z10，px12y10.令 x12，则 y1p，z1 p3.所以 m(2，p，p3)当且仅当 mn0 时，平面 A1DP平面 A1BE.mn0，即 4pp0，解得 p2，与 p0，3矛盾 所以线段 BC 上不存在一点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 3.如图，四棱锥 S-ABCD 中，ABCD 为矩形，SDAD，且 SDAB，ADa(a0)，AB2A
10、D，SD 3AD，E 为 CD 上一点，且 CE3DE.(1)求证：AE平面 SBD；(2)M，N 分别为线段 SB，CD 上的点，是否存在 M，N，使 MNCD 且 MNSB，若存在，确定 M，N 的位置；若不存在，说明理由解：(1)证明：四棱锥 S-ABCD 中，ABCD 为矩形，SDAD，且 SDAB，ADABA，SD平面 ABCD.SDAE.BD 就是 SB 在平面 ABCD 上的射影 AB2AD，E 为 CD 上一点，且 CE3DE.tanDAEDEAD12，tanDBAADAB12，DAEDBA，DAEBDA90.AEBD，又 AE 与 BD 交于一点，AE平面 SBD.(2)假设
11、存在点 M，N 满足 MNCD 且 MNSB.建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知，D(0，0，0)，A(a，0，0)，C(0，2a，0)，B(a，2a，0)，S(0，0，3a)，设DM DB tBS(a，2a，0)t(a，2a，3a)(ata，2a2ta，3ta)(t0，1)，即 M(ata，2a2ta，3ta)，N(0，y，0)，y0，2a，NM(ata，2a2tay，3ta)使 MNCD 且 MNSB，则NM DC 0，NM BS0，（ata，2a2tay，3ta）（0，2a，0）0，（ata，2a2tay，3ta）（a，2a，3a）0，可得2a（2a2tay）0，a（ata）2a（2a2tay）3ta20，解得 t140，1，y32a0，2a 故存在点 M，N 使 MNCD 且 MNSB，M(34a，32a，34 a)，N(0，32a，0)
