1、第2课时 基本不等式的应用 张先生打算建造一个面积为6 000平方米的矩形饲养场，进行猪养殖，现在需要进行周边院墙的建设，经过计算，他的 儿子说建成正方形的 院墙最省，而他认为 建成长300米、宽200 米的矩形的院墙最 省，你认为谁说的 对？要解决这个问题，可用基本不等式来解决，这一节我们就学习基本不等 式的有关应用.1.进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值；（重点）2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式.（重点）3.能够解决一些简单的实际问题；逻辑推理：通过不等式的证明，培养逻辑推理的核心素养 数学建模：通过基本不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养 体会课堂探究的
2、乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂【解题关键】设矩形菜园的长为x m，宽为y m，面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.即求（x+y）的最小值.例 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？微课1 基本不等式在求最值中的应用【解析】设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.2xyxy因为，2 10020.xy所以2()40.xy则当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40 m.结论1 两个正数积为定
3、值，则和有最小值.当xy的值是常数 时，当且仅当x=y时，x+y有最小值 2.PP【规律总结】【解题关键】设矩形菜园的长为x m，宽为y m，周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xy m2.即求xy的最大值.例 一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？【解析】设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则 2(x+y)=36,x+y=18，矩形菜园的面积为xy m2.18981.22xyxyxy因为，得当且仅当x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2.结论2 两个正数和为定值，
4、则积有最大值.当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值 21.4 S【提升总结】注意：各项皆为正数；和为定值或积为定值；注意等号成立的条件.一“正”，二“定”，三“等”.最值定理 结论1 两个正数积为定值，则和有最小值.结论2 两个正数和为定值，则积有最大值.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物 600吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则 x 的值是 .【解题关键】以实际问题为命题背景,考查基本不等式求最值.【解析】总费用 4x+600 x 6=4900 xx42 900=240,当且仅当 x=90
5、0 x,即 x=30 时等号成立.答案：30【变式练习】30 例 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4 800 m3,深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?【解题关键】水池呈长方体形，高为3 m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低.,240 000+720(x+y)240 000+7202 xy,即z240 000+7202 1 600z297 600.().xy=240 000+7204800150120(2 32 3
6、)3 zxy由容积为4 800 m3，可得3xy=4 800,因此xy=1 600.由基本不等式与不等式的性质，可得【解析】设底面的长为x m，宽为y m,水池总造价为z元，根据题意，有 所以，将水池的底面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是 297 600元.阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【解题指南】设矩形温室的一边长为 xm，则另一边长为800 x m(2x200)，则可得种植面积为 S
7、=(x-2)）800(4x ，利用基本不等式求解.【变式练习】【解析】设矩形温室的一边长为 xm，则另一边长为800 x m(2x200).依题意得种植面积：S=(x-2)800(4)x =800-1600 x-4x+8=808-1600(4)xx808-21600 4xx=648，当且仅当1600 x=4x，即 x=20 时等号成立.即当矩形温室的一边长为 20m，另一边长为 40m 时种植面积最大，最大种植面积是 648m2.13f(x)2x1(x0).x例求的最大值为条应负数【解题关键】转为数1x 0,所以2x 0,0,不符合基本不等式x的件.故把化正因.1.化正型 微课2 基本不等式在
8、求最大、最小值中的应用 12且-2x=-,即x=-,取等.x2f(x)的最大值-2 2-1.当仅当时号为1所以f(x)=2x+-1-2 2-1.x【解析】为10,-0.x11所以（-2x)+(-)2 2.所以2x+-2 2.xx因x【规律总结】如果所求因式都是负数，通常采用添负号变为正数的处理方法.关注因式是负数 设函数，则函数f(x)的最大值为_。1()21(0)f xxxx10,(2)()2 2,xxx 【解析】122 2,xx 1()212 21.f xxx 12222 21 xxx当且仅当即时取等号。答案：负变正-2 2-1【变式练习】例 求函数 的最小值.1yx(x3)x3积为变积为
9、【解题关键】1与x的不定值，故需形使定值.x-3当仅当时有最小值，【为解析】min1x 3,所以x-3 0,0.x-3111所以y=x+=x-3+32(x-3)+3=2+3=5,x-3x-3x-31且x-3=,即x=4,yy=5.x-因32.凑定型(1)构造积为定值，利用基本不等式求最值.(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值.10 x,yx(1 3x).3例 已知求函数的最大值【解 题 关 键】为x+(1-3x)不 是 定 值，3x+(1-3x)定 值.【解析】为210 x 0.311 3x+1-3x1所以y=x(1-3x)=3x(1-3x)()=.32因3123x=1-3x1x6max1
10、yy.12有最大值，当且仅当，即 时，合理地拆分转化，构造和为定值或积为定值，并利用基本不等式的条件来求解，是解决此类问题的关键.【规律总结】【即时练习】(2018天津高考)已知 a,bR,且 a-3b+6=0,则 2a+的最小值为 .【解 析】因 为a-3b+6=0,所 以a-3b=-6,2a+=2a+=2a+2-3b 2-3b=2=2-6=(当且仅当 2a=,即 a=-3,b=1 时取等号),所以 2a+的最小值为.答案:141411所以 xy,即2 2.xy2 2【错 解】为1=2x+y因2 2xy,111所以+222 2=4 2.xyxy即 的最小值为 11xy4 2.11xy例 已知
11、x0,y0,且2x+y=1,求 的最小值.3.整体代换型 这个解法正确吗？不正确.过程中两次运用了基本不等式中取“=”过渡，而这两次取“=”的条件是不同的，故结果错误.21xy11xy1=2,xy11f(x)xy【错因分析】本题给定约束条件，来求 注意到故可以采用对乘“1”构造使用基本不等 的最小值,目标函数式的条件.【正解】令112x+y2x+y+=+xyxyy2x=3+3+2 2,xyf（x）=当且仅当2,yxxy即 2yx时取“=”号.2-2,2,221.2-1,而xyxxyy即此时min11()32 2.xy 对于给定条件求最值的问题，常可采用乘“1”变换的方法，创造使用基本不等式的条
12、件.【规律总结】已知且求的最小值190,0,1,.xyxyxy【解析】199xy(x+y)(+)=10+xyyx9x y10+2.=16.yx9xy=，yx且等成立,19+=1xy当仅当时号x=4,即,y=12时取得最小值16.xy【变式练习】基本不等式的应用 求最值 证明不等式 实际应用(1)整体代换求最值 根据变形确定定值；把定值变形为1；构造和或积的形式；利用基本不等式求解最值.（2）证明不等式的方法与特征：方法：从已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所求问题，特征：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”（1）证明不等式：多次使用基本不等式，要注意等号能否成立;注意使用;累加法和拼凑法（2）用基本不等式解决实际问题时，注意变量的取值范围、等号能否取到，最终结果要转化为实际意义 数学建模：通过基本不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养 逻辑推理：通过不等式的证明，培养逻辑推理的核心素养
