1、高三年级期期末教学质量抽测试题理科数学 2016.01一. 选择题1.B 2.C 3.C 4.A 5.A 6.D 7.B 8.A 9.C 10.B 二. 填空题11. 12. 13. 14.-10 15. 三. 解答题16.已知向量,函数.(1)若,求的值;(2)在中,角对边分别是,且满足,求的取值范围。16. 【解析】(1) -2分 -4分-6分(2)由,得-8分 -9分-10分从而得故-12分17.甲、乙、丙三班进行知识竞赛,每两班比赛一场,共赛三场每场比赛胜者得分,负者得分,没有平局,在每一场比赛中,甲班胜乙班的概率为,甲班胜丙班的概率为,乙班胜丙班的概率为()求甲班获第一名且丙班获第二
2、名的概率;()设在该次比赛中,甲班得分为,求的分布列和数学期望17.解:(1)甲获第一,则甲胜乙且甲胜丙,甲获第一的概率为 2分丙获第二,则丙胜乙,其概率为 4分甲获第一名且丙获第二名的概率为 6分(2)可能取的值为O、3、6 7分甲两场比赛皆输的概率为 8分甲两场只胜一场的概率为 9分甲两场皆胜的概率为 10分的分布列为036P l2分18.在如图所示的空间几何体中,平面ACD平面ABC,ACD与ACB是边长为2的等边三角形,BE=2,BE和平面ABC所成的角为60,且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上(1)求证:DE平面ABC;(2)求二面角EBCA的余弦值18.证明:(1)由题
3、意知,ABC,ACD都是边长为2的等边三角形,取AC中点O,连接BO,DO,则BOAC,DOAC, .2分又平面ACD平面ABC,DO平面ABC,作EF平面ABC,那么EFDO,根据题意,点F落在BO上,BE和平面ABC所成的角为60,EBF=60,BE=2, .4分四边形DEFO是平行四边形,DEOF,DE不包含于平面ABC,OF平面ABC,DE平面ABC .6分(2)以OA,OB,OD为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,B(0,0),C(1,0,0),E(0,),=(1,0),=(0,1,),平面ABC的一个法向量为设平面BCE的一个法向量为则, .9分所以,又由图知,
4、所求二面角的平面角是锐角,二面角EBCA的余弦值为 .12分19.已知数列是首项为正数的等差数列,数列的前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前2项和. 解:(I)设数列的公差为,令得,所以.-2分令得,所以. -4分 解得,所以 -6分(2)由题意知, -7分所以 -9分 10分-12分20.已知函数在点的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)设时,求证:;(3)已知,求证:.20解:(1)将代入切线方程得, ,1分化简得. ,2分,解得:. 4分 (2)由已知得在上恒成立,化简,即在上恒成立.5分设, 7分 ,即, 在上单调递增,在上恒成立 .分 (3), ,由()知有, 12分整理得,当时,. 13分21.已知椭圆的焦点在轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率,过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆于、两点。 (1)求椭圆的标准方程; (2)设点是线段上的一个动点,且,求的取值范围; (3)设点是点关于轴的对称点,在轴上是否存在一个定点,使得、三点共线?若存在,求出定点的坐标,若不存在,请说明理由。解:(I)设椭圆方程为,由题意知故椭圆方程为 .2分 (2)由(I)得,所以,设的方程为()代入,得 设则,由,当时,有成立。 .8分(3)在轴上存在定点,使得、三点共线。 设存在使得、三点共线,则, , 即 ,存在,使得三点共线 .13分