1、2.5指数与指数函数必备知识预案自诊知识梳理1.有理指数幂(1)一般地,an中的a称为,n称为.(2)一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得,则x称为a的n次方根.0的任意正整数次方根均为,记为.正数a的偶数次方根有两个,它们互为,其中正的方根称为a的,记为,负的方根记为;负数的偶数次方根在实数范围内.任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为.而且正数的奇数次方根是一个,负数的奇数次方根是一个.(3)当na有意义的时候,na称为,n称为,a称为.根式具有以下性质:(na)n=a.nan=,当n为奇数时,当n为偶数时.(4)如果n是正整数,那么:当na有意义时,规定a1n=;
2、当na没有意义时,称a1n没有意义.对于一般的正分数mn,也可作类似规定,即amn=.其中mn为既约分数.负分数指数幂:若s是正分数,as有意义且a0时,规定a-s=.(5)有理指数幂的运算法则:asat=,(as)t=,(ab)s=.2.实数指数幂一般地,当a0且t是时,at都是一个确定的实数.因此,当a0时,t为时,可以认为实数指数幂at都有意义.3.指数函数的图像和性质函数y=ax(a0,且a1)0a1图像图像特征在x轴,过定点当x逐渐增大时,图像当x逐渐增大时,图像续表函数y=ax(a0,且a1)0a1性质定义域值域单调性在R上在R上函数值变化规律当x=0时,当x0时,当x0时,1.指
3、数函数y=ax(a0,且a1)的图像过三个定点:(1,a),(0,1),-1,1a.2.y=ax(a0,且a1)的图像特征:如图(a1a2a3a4),不论是a1,还是0a0,且a1时,函数y=ax与函数y=1ax的图像关于y轴对称.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)4(-4)4=-4.()(2)nan与(na)n都等于a(nN*).()(3)(-1)24=(-1)12=-1.()(4)函数y=32x与y=2x+1都不是指数函数.()(5)若aman,则mn.()2.(2020山东实验中学月考,3)已知12m12nn0B.0mnC.nm0D.0nm3.(2020
4、广东广州模拟,4)已知函数f(x)=12x,则不等式f(a2-4)f(3a)的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.(1,4)D.(0,4)4.(2020天津,6)设a=30.7,b=13-0.8,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC.bcaD.cab5.若函数y=(a2-1)x在R上为减函数,则实数a的取值范围是.关键能力学案突破考点指数幂的化简与求值【例1】(1)化简416x8y4(x0,y0,b0).解题心得指数幂运算的一般原则:(1)有括号的先算括号里面的,没有括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是
5、负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.对点训练1化简下列各式:(1)a3b23ab2(a14b12)4a-13b13(a0,b0);(2)-278-23+(0.002)-12-10(5-2)-1+(2-3)0.考点指数函数的图像及其应用(多考向探究)考向1指数函数型图像的判别【例2】(2020安徽马鞍山二模,理7)已知函数f(x)=ex-e-xx2,则f(x)的图像大致为()解题心得1.画指数函数y=ax(
6、a0,且a1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),-1,1a.2.已知函数解析式判断其图像一般是依据函数的单调性、奇偶性,再结合一些特殊点,判断所给的图像是否符合,若不符合则排除.对点训练2函数f(x)=1-e|x|的图像大致是()考向2指数函数图像的应用【例3】(1)若函数y=|3x-1|的图像与直线y=m有两个不同交点,则实数m的取值范围是.(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.解题心得1.对于有关指数型函数图像的应用问题,一般是从最基本的指数函数的图像入手,通过平移、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.一
7、些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.对点训练3(1)(2020安徽蒙城月考,4)已知0a1,b1,b1,b0C.0a0D.0a1,b0,且a1)的图像有两个公共点,则a的取值范围是.变式发散1若本例(1)的条件变为:方程3|x|-1=m有两个不同实根,则实数m的取值范围是.变式发散2若本例(1)的条件变为:函数y=|3x-1|+m的图像不经过第二象限,则实数m的取值范围是.考点指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1指数函数单调性的应用【例4】(1)(2020湖南永州二模,理3)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则()A.acbB.
8、abcC.cabD.bca(2)若x0是方程12x=x13的解,则x0属于区间()A.23,1B.12,23C.13,12D.0,13解题心得比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图像比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较.对点训练4(1)(2019全国1,文3,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca(2)当x(-,-1时,不等式(m2-m)4x-2x0恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,1)B.(-4
9、,3)C.(-3,4)D.(-1,2)考向2解简单的指数方程或指数不等式【例5】(1)不等式12x2-32-2x的解集是.(2)设函数f(x)=(12)x-7,x0,x,x0,若f(a)ag(x),当a1时,等价于f(x)g(x);当0a1时,等价于f(x)0在x(-,1时恒成立,则实数a的取值范围是.解题心得指数函数的综合问题,主要涉及单调性、奇偶性、最值问题,应在有关性质的基础上,结合指数函数的性质进行解决,而指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化.对点训练6(1)函数y=12x2+2x-1的值域是()A.(-,4)B.(0,+)C.(0,4D.4,+)(2)函数y=14
10、x-12x+1在x-3,2上的值域是.【例1】若存在正数x使2x(x-a)1成立,则a的取值范围是()A.(-,+)B.(-2,+)C.(0,+)D.(-1,+)答案D解析不等式2x(x-a)1可变形为x-a12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y=x-a与y=12x的图像.由题意,在(0,+)上,直线有一部分在曲线的下方.由图可知,-a-1.【例2】已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)0的解集是()A.(-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.(0,1)D.(-,0)(1,+)答案D解析因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)0等价于2xx+1,在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图像.如图,两函数图像的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2xx+1的解为x1.所以不等式f(x)0的解集为(-,0)(1,+).故选D.
