1、123理解相似三角形的定义，会用相似三角形的三个判定定理会用平行线分线段成比例定理会用直角三角形射影定理 1_.21_3_ _1_x定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也推论：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必第三边经过梯形一腰平行线等分线段定理的中点，且与底边平行的直线另一腰_()_2_3_ _三条平行线截任意两条直线，所截出的成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的成比例对应角，对平行线分线段成比例定理及推论相似三角形应边的两个三角形叫做两个相似的定义三角形 1_2_3_1_.2_.3_45_判定定理：两角对应的两个三角
2、形相似判定定理：两边对应，并且夹角的两个三角形相似判定定理：三边对应 的两个三角形相似相似三角形对应边上的高、中线和对应角平分线的比都等于 相似三角形周长的比等于 相似三角形的面积比等于 相似三角形的判定相 似三角形的性质_._.6直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的 ；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的直角三角形射理 影定 【要点指南】相等；平分；平分；对应线段；对应线段；相等；成比例；相等；成比例；相等；成比例；相似比；相似比；相似比的平方；比例中项；比例中项 1.如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AEEB12，AEF 的面积为 6，则CDF 的面积为()A
3、12B24C18D54【解析】由题设，AEEB12，所以 AEAB13，所以 AECD13.又 AECD，所以AEFCDF，所以SAEFSCDFAE2CD219，所以 SCDF9SAEF54，故选 D.2.如图，l1l2l3，那么下列结论中错误的是()A由 ABBC，可得 FGGHB由 ABBC 可得 OBOGC由 CE2CD 可得 CA2BCD由 GH12FH 可得 CDDE【解析】由于 OB、OG 不是一条直线被平行线截得的线段，可知 B 选项不正确，故选 B.3.如图，在ABC 中，ADBC 于 D，AB2BDBC，则BAC 90.【解析】由 AB2BDBC，得BCABABBD，从而AB
4、DCBA，则ADBBAC90.4.如图，在ABC 中，ADBC 于 D，下列条件：BDAC90；BDAC；CDADACAB，其中一定能判定ABC 是直角三角形的有 .(填正确命题的序号)【解析】由BDAC90，而BDAB90，则BADDAC.同理BC，从而不能判定BADDAC90，故不能；由BDAC，CC，则ABCDAC，又DAC 为直角三角形，所以ABC 为直角三角形，故能；由CDADACAB，可得ACDBAD，则BADC，BDAC，所以BADDAC90，故能 5.如图，1B，AD5 cm，AB10 cm，则 AC 的长度为 5 2.【解析】因为1B，AA，所以ACDABC，所以ADACAC
5、AB，AC2ADAB50，AC5 2.一 平行线截割定理及应用【例 1】如图，在ABCD 中，H、E 分别是 AD、AB 延长线上一点，HE 交 DC 于 K，交 AC 于 G，交 BC 于 F.求证：GHGKGEGF.【证明】要证 GHGKGEGF，即证GHGFGEGK.由 ADBC，得GHGFAGCG；由 ABCD，得GEGKAGCG，故GHGFGEGK.【点评】由线段之积转化为线段之比，然后在题设条件中充分利用平行线的截割线定理推理论证，仔细观察，认真分析推导是解题关键如图，已知 ABEFCD，若 AB6 cm，CD9 cm，则 EF_.素材1【分析】由于 BC 是ABC 与DBC 的公
6、共边，且ABEFCD，利用平行线分三角形成相似三角形可求 EF.【解析】在ABC 中，因为 EFAB，所以EFABCFCB.在DBC 中，因为 EFCD，所以EFCDBFBC.两式相加，得EFABEFCDCFCBBFBC1，所以EF6 EF9 1，故 EF185 cm.二直角三角形射影定理及应用【例 2】在直角三角形 ABC 中，AB4，AC3，过点A 作 ADBC，垂足为 D，过点 D 作 DEAC，垂足为 E，则 DE .【解析】由勾股定理得：BC AB2AC25，由射影定理得：CDAC2BC 95，由三角形面积得：ADABACBC125，由三角形面积得：DEADDCAC3625.【点评】
7、在直角三角形中，勾股定理，身影定理是解决线段长度问题的有力工具，由面积相等进行转化是很好的手段【解析】因为 ACBD，故AED、BEC 都是直角三角形又 EFAD，EGBC，由射影定理可知 AFDFEF2，BGCGEG2.又 FG2(FE EG)2 FE2EG2 2FEEG AFDFBGCG2FEEG，因为ABC45，分别过点 A、H 作直线与 BC 垂直，易知，AH 2FE，BH 2EG，故 AHBH2EFEG.所以 FG2AFDFBGCG2FEEGAFDFBGCGAHBH.【点评】做平面几何证明题时要分析待证明的结论与已知条件的关系，逐步消除差距 如图，在ABC 中，ADBC 于 D，DE
8、AB 于 E，DFAC于 F，若 AEAF34，则 ACAB 34.素材2【解析】由 ADBC 可知ABD 和ADC 均为直角三角形在 RtABD 中，由射影定理可得 AD2AEAB.同理，AD2AFAC，则 AEABAFAC，因此ACABAEAF34.三三角形相似的判定与应用【例 3】在ABC 中，已知BC2A，AB4，求 ABBCBC2 的值【解析】如图，延长 BC 到点 D，使 ABCD，连接 AD.因为BACB，所以 ABAC，又 ABCD，所以 ACCD，所以D12ACBBAC，又BB，所以ABCDBA，所以ABBDBCAB.所以 AB2BCBDBC(BCCD)BC2ABBC4216
9、.【点评】通过适当的构造，将问题转化为三角形相似进行求解如图，在四边形 ABCD 中，ABCBAD，若BAC32，则DCA 32.素材3【解析】由ABCBAD，得ACBBDA，故 A、B、C、D 四点共圆，从而CABCDB.再由ABCBAD，得CABDBA.因此DBACDB，所以 ABCD，则DCABAC32.备选例题如图，在矩形 ABCD 中，AB12AD，E 为 AD 的中点，EFEC，且 EF 交 AB 于 F，连接 FC.设ABBCk，是否存在实数 k 的值，使AEF、ECF、DCE 与BCF 都相似？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由【分析】要证明这四个三角形都相似，可以逐次证明
10、其中的三角形相似，由于这些三角形都是直角三角形，因此只要证明两个三角形有一组锐角相等或两组对应边成比例即可【解析】假设存在实数 k 的值，满足题设先证明AEFDCEECF.因为 EFEC，所以AEF90DECDCE.而AD90，故AEFDCE.故得CEEFDEAF，而 DEEA，所以CEEFAEAF.又CEFEAF90，所以AEFECF.再证明可以取到实数 k 的值，使AEFBCF.由于AFEBFC90，故不可能有AFEBCF，因此要使AEFBCF，应有AFEBFC，此时，有AEAFBCBF，但 AE12BC，故得 AF12BF13AB.由AEFDCE，可知AEAFCDDE.因此，(12BC)
11、213AB2，所以AB2BC234，求得 kABBC 32.可以验证，当 k 32 时，这四个三角形都是有一个锐角等于60的直角三角形，故它们都相似【点评】对于存在性问题，先假设其存在，再求解推理，若其解符合题意，则存在，否则不存在 11定义法：对应边成比例，对应角相等；平行法；判定定理法：用得最多的是判定定理，即两角对应相等的两个三角形相似；对直角三角形除以上方法外，还有特殊方法，两直角边对应成比例，两直角三角形相似；一条直角边和斜边对应成比例，两直角三角形相似；斜边上的高分成的两直角三角相似三角形的证形与原三法：角形相似23对应边成比例，对应角相等；对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比，而面积的比等于相似比的平方；相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方利用这些关系可以进行各种证明、求值在探究证明中，掌握从特殊到一般和化归的思想方法，学会解相似三角形的性质决问题的程：序、模式
