1、专题4：折叠问题【典例引领】例：如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE将ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B，连接AB并延长交直线DC于点F（1） 当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2） （2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明【答案】（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BEDF=AF；证明见解答【分析】（1）由折叠可得AB=AB，BE=BE，再根据四边形ABCD是正方形，易证BE=BF，即可证明D
2、F+BE=AF；（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BEDF=AF；证明图（2）：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证ABEADG，根据CBAD，得AEB=EAD，即可得出BAE=DAG，则GAF=DAE，则AGD=GAF，即可得出答案BE+DF=AF【解答】解：（1）由折叠可得AB=AB，BE=BE，四边形ABCD是正方形，AB=DC=DF，CBE=45，BE=BF， AF=AB+BF，即DF+BE=AF；（3） 图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BEDF=AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证ABEADG， CBAD，
3、 AEB=EAD， BAE=BAE， BAE=DAG，GAF=DAE， AGD=GAF， GF=AF，BE+DF=AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM，需证ABMADF， BAM=FAD，AF=AM ABEABE BAE=EAB， MAE=DAE， ADBE，AEM=DAE， MAE=AEM，ME=MA=AF，BEDF=AF【强化训练】1、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题.动手操作：如图 1，在直角三角形纸片 ABC 中，BAC90，AB6，AC8.将三角形纸片ABC 进行以下操作：第一步
4、：折叠三角形纸片 ABC 使点 C 与点 A 重合，然后展开铺平，得到折痕 DE；第二步：将ABC 沿折痕 DE 展开，然后将DEC 绕点 D 逆时针方向旋转得到DFG，点 E，C 的对应点分别是点 F，G，射线 GF 与边 AC 交于点 M(点 M 不与点 A 重合)，与边 AB交于点 N，线段 DG 与边 AC 交于点 P.数学思考：（1）求 DC 的长；（2）在DEC 绕点 D 旋转的过程中，试判断 MF 与 ME 的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在DEC 绕点 D 旋转的过程中，探究 下列问题： 如图 2，当 GFBC 时，求 AM 的长； 如图 3，当 GF 经过点 B
5、时，AM 的长为 当DEC 绕点 D 旋转至 DE 平分FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的DFG 和射线 GF，并直接写出 AM 的长（要求：尺规作图 ，不写作法，保留 作图痕迹，标记出所有相应的字母）【答案】(1) DC5;(2)相等，理由见解析；（3）AM3；AM74；AM10 - 35【分析】（1）理由勾股定理求出BC即可解决问题（2）结论：MF=ME证明RtDMFRtDME（HL），即可解决问题（3）如图2中，作AHBC于H，交FG于K由KMCH，推出AKAH=AMAC，求出AK，AH即可解决问题证明BM=MC，设BM=MC=x，在RtABM中，根据BM2=AB2+AM2，构建
6、方程即可解决问题尺规作图如图4-1所示作DR平分CDF，在DR上截取DG=DC，分别以D，G为圆心，DE，CE为半径画弧，两弧交于点F，DFG即为所求如图4-1中，连接DM，设DG交AC于T，作THCD于H，作DK平分CDG交TH于K，作KJDG于J易证DEMDHK（AAS），推出EM=HK，只要求出HK即可【解答】解：（1）如图1中，DEAC，DEC=A=90，DEAB，AE=EC，BD=DC，在RtABC中，AB=6，AC=8，BC=AB2+BC2=62+82=10，CD=12BC=5（2）结论：MF=ME理由：如图1中，连接DM，DFM=DEM=90，DM=DM，DF=DE，RtDMFR
7、tDME（HL），MF=ME（3）如图2中，作AHBC于H，交FG于K易知AH=ABACBC=245，四边形DFKH是矩形，DF=KH=3，AK=AH-KH=95，KMCH，AKAH=AMAC，95245=AM8， AM=3如图3中，DG=DB=DC，G=DBG，G=C，MBC=C，BM=MC，设BM=MC=x，在RtABM中，BM2=AB2+AM2，62+（8-x）2=x2，x=254AM=AC-CM=8-254=74故答案为74.尺规作图如图4-1所示作DR平分CDF，在DR上截取DG=DC，分别以D，G为圆心，DE，CE为半径画弧，两弧交于点F，DFG即为所求如图4-1中，连接DM，设D
8、G交AC于T，作THCD于H，作DK平分CDG交TH于K，作KJDG于J易证DEMDHK（AAS），推出EM=HK，只要求出HK即可TEDE，THDC，DG平分CDE，TE=TH，设TE=TH=x，在RtTCH中，x2+22=（4-x）2，x=32，DT=32+322=325，DK平分CDT，KJDT，KHCD，KJ=KH，设KJ=KH=y，在RtKTJ中，y2+325-32=32-y2 y=35-6，EM=35-6AM=AE-EM=4-(35-6)=10-352（2016内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中ACB=90，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接
9、EF（1）图，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3SEDF，求AE的长；（2）如图，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MFCA试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；求EF的长；（3）如图，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE=47，求AFBF的值【答案】（1）52；（2）四边形AEMF为菱形；4109；（3）32【分析】试题分析：（1）先利用折叠的性质得到EFAB，AEFDEF，则SAEFSDEF，则易得SABC=4SAEF，再证明RtAEFRtABC，然后根据相似三角形的性质得到=（）
10、2，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；（2）通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形；连结AM交EF于点O，如图，设AE=x，则EM=x，CE=4x，先证明CMECBA得到=，解出x后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；（3）如图，作FHBC于H，先证明NCENFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x1，BH=3（7x1）=47x，再证明BFHBAC，利用相似比可计算出x=，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，于是可计算出的值【解答】（1）如图，ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落
11、在AB边上的点D处，EFAB，AEFDEF，SAEFSDEF，S四边形ECBF=3SEDF，SABC=4SAEF，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，AB=5，EAF=BAC，RtAEFRtABC，=（）2，即（）2=，AE=；（2）四边形AEMF为菱形理由如下：如图，ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，AE=EM，AF=MF，AFE=MFE，MFAC，AEF=MFE，AEF=AFE，AE=AF，AE=EM=MF=AF，四边形AEMF为菱形；连结AM交EF于点O，如图，设AE=x，则EM=x，CE=4x，四边形AEMF为菱形，EMAB，CMECBA，=，即=，
12、解得x=，CM=，在RtACM中，AM=，S菱形AEMF=EFAM=AECM，EF=2=；（4） 如图，作FHBC于H，ECFH，NCENFH，CN：NH=CE：FH，即1：NH=：FH，FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x1，BH=3（7x1）=47x，FHAC，BFHBAC，BH：BC=FH：AC，即（47x）：3=4x：4，解得x=，FH=4x=，BH=47x=，在RtBFH中，BF=2，AF=ABBF=52=3，=3如图1，四边形的对角线相交于点，.（1）填空：与的数量关系为 ；（2）求的值；（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.【答案】（
13、1）BAD+ACB=180；（2）；（3）1.【分析】（1）在ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：BAD+ACB=180；（2）如图1中，作DEAB交AC于E由OABOED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由EADABC，推出，可得，可得4y2+2xyx2=0，即，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DEAB交AC于E想办法证明PADPBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；【解答】（1）如图1中，在ABD中，BAD+ABD+ADB=180，ABD+ADB=ACB，BAD+ACB=180，故答案为BAD+ACB=180 （2）如图1中，作
14、DEAB交AC于EDEA=BAE，OBA=ODE，OB=OD，OABOED，AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，EDA+DAB=180，BAD+ACB=180，EDA=ACB，DEA=CAB，EADABC，4y2+2xyx2=0，（负根已经舍弃）， （3）如图2中，作DEAB交AC于E由（1）可知，DE=CE，DCA=DCA，EDC=ECD=DCA，DECAAB，ABC+ACB=180，EADACB，DAE=ABC=DAC，DAC+ACB=180，ADBC，PADPBC，即PC=14RtABC中，ACB90，AC3，BC7，点P是边AC上不与点A、C重合的一点
15、，作PDBC交AB边于点D（1）如图1，将APD沿直线AB翻折，得到APD，作AEPD求证：AEED；（2）将APD绕点A顺时针旋转，得到APD，点P、D的对应点分别为点P、D，如图2，当点D在ABC内部时，连接PC和DB，求证：APCADB；如果AP：PC5：1，连接DD，且DD2AD，那么请直接写出点D到直线BC的距离【答案】(1)见解析；（2）见解析；点D到直线BC的距离为176或536【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得EADADPADP，即可得AEDE；（2）由题意可证APDACB，可得APAC=ADAB，由旋转的性质可得APAP，ADAD，PADPAD，即PACDAB，则A
16、PCADB；分点D在直线BC的下方和点D在直线BC的上方APAC=ADAB两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求PD356，通过证明AMDDPA，可得AMPD356，即可求点D到直线BC的距离【解答】证明：（1）将APD沿直线AB翻折，得到APD，ADPADP，AEPD，EADADP，EADADP，AEDE（2）DPBC，APDACB，APAC=ADAB ，旋转，APAP，ADAD，PADPAD，PACDAB，APAC=ADAB，APCADB若点D在直线BC下方，如图，过点A作AFDD，过点D作DMAC，交AC的延长线于M，AP：PC5：1，AP：AC5：6，PDBC，APAC=PDBC=56，BC7，PD356，旋转，ADAD，且AFDD，DFDF12DD，ADFADF，cosADFDFAD12DDAD =22ADAD 22 ，ADF45，ADF45，DAD90DAM+PAD90，DMAM，DAM+ADM90，PADADM，且ADAD，AMDAPD，ADMDAP（AAS）PDAM356，CMAMAC3563，CM176，点D到直线BC的距离为176若点D在直线BC的上方，如图，过点D作DMAC，交CA的延长线于点M，同理可证：AMDDPA，AMPD356，CMAC+AM，CM3+356356，点D到直线BC的距离为356综上所述：点D到直线BC的距离为176或536；13
