1、基础达标1同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C:x2y236变为何种曲线,并求曲线的焦点坐标解:圆x2y236上任一点为P(x,y),伸缩变换后对应的点的坐标为P(x,y),则,4x29y236,即1.曲线C在伸缩变换后得椭圆1,其焦点坐标为(,0)2(2014江苏扬州质检)求经过极点O(0,0),A,B三点的圆的极坐标方程解:将点的极坐标化为直角坐标,点O,A,B的直角坐标分别为(0,0),(0,6),(6,6),故OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,圆心为(3,3),半径为3,圆的直角坐标方程为(x3)2(y3)218,即x2y26x6y0,将xcos ,ysin 代入上述方程,
2、得26(cos sin )0,即6cos.3在极坐标系中,已知圆asin (a0)与直线cos1相切,求实数a的值解:将圆asin 化成普通方程为x2y2ay,整理,得x2.将直线cos1化成普通方程为xy0.由题意,得,解得a42.4设过原点O的直线与圆(x1)2y21的一个交点为P,点M为线段OP的中点,当点P在圆上移动一周时,求点M轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线解:圆(x1)2y21的极坐标方程为2cos ,设点P的极坐标为(1,1),点M的极坐标为(,),点M为线段OP的中点,12,1,将12,1代入圆的极坐标方程, 得cos .点M轨迹的极坐标方程为cos ,它表示圆心在点,半
3、径为的圆能力提升1(2014福建泉州质检)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2,22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解:(1)由2知24,所以x2y24;因为22cos2,所以222,所以x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1,即sin.2(1)在极坐标系中,已知圆C的圆心坐标为C,半径R,求圆C的极坐标方程;(2)设点P的极坐标为(1,1),求过点P且与极轴所成角为的直线l的极坐标方程解:(1)设P(,)是圆上的任意一点,则|PC|R.由余
4、弦定理,得22222cos5,即圆C的极坐标方程为24cos10.(2)如图,设点M(,)为直线上除点P外的任意一点,连接OM,则|OM|,xOM,由点P的极坐标知|OP|1,xOP1,设直线l与极轴交于点A则在MOP中,OMP,OPM(1)由正弦定理得,所求的l的极坐标方程为sin()1sin(1)3在极坐标系中,如果A(2,),B(2,)为等边三角形ABC的两个顶点,求顶点C的极坐标(0,02)解:A(2,),2,xcos 2cos,ysin 2sin,即A点的直角坐标为(,)同理可求B点的直角坐标,x2cos,y2sin,即B(,)设C点的直角坐标为(x,y),则解之得或即C点的直角坐标为(,)或(,)当x,y时,C在第四象限时,当x,y,即C在第二象限时,即点C的极坐标是或.4求证:过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数证明:建立如图所示的极坐标系,设抛物线的极坐标方程为(p0)PQ是抛物线的弦,若点P的极角为,则点Q的极角为,因此有|FP|,|FQ|.所以(常数)原命题得证