1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-1-第 3 课时 等比数列 一、填空题 1(江苏省高考命题研究专家原创卷)若实数 m，n 的等差中项是 5，等比中项是 4，则 椭圆x2my2n1 的离心率为_ 解析：由 mn10，mn16，得 m8，n2 或 m2，n8.所以 a2 2，c 6.故离心率 e 32.答案：32 2(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知正项等比数列an的前 3 项之积为 8，则其前 3 项之和 S3的最小值为_ 解析：设数列an的公比为 q，a1a2a38，a1a3a22，a22，S32q2q2，q0，S322q2q26，当 q1 时，S3取得最小值 6.答案：
2、6 3(江苏省高考名校联考信息优化卷)函数 f(x)log2x，等比数列an的各项大于 0，首 项为 1，若 f(a1)f(a3)f(a5)f(a7)f(a9)20，则 f(a1a2a3a10)_.解析：设数列an的公比为 q，则 f(a1)f(a3)f(a5)f(a7)f(a9)log2a1a3a5a7a9log2q20 20，q2，f(a1a2a3a10)log2a1a2a3a10log224545.答案：45 4 在等比数列an中，a9a10a(a0)，a19a20b，则 a99a100等于_ 解析：令 a9a10b1，a19a20b2，a99a100b10.它们构成以ba为公比的等比数
3、列所 以 a99a100aba9b9a8.答案：b9a8 5 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”设an是公比为 q 的无 穷等比数列，下列an的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第_ 组(写出所有符合要求的组号)S1与 S2；a2与 S3；a1与 an；q 与 an.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-2-(其中 n 为大于 1 的整数，Sn为an的前 n 项和)解析：a1S1，a2S2S1，q 确定，等比数列an确定 由 S3a1a2a3a2qa2a2q，q1q1S3a20，即 q2(1S3a2)q10.不能唯一 确定 q，从而该数列不能唯一确定qn1a
4、na1，n 为奇数时，n1 为偶数，q 不能唯一确定a1 anqn1唯一确定，即an唯一确定 满足题意 答案：6 在数列an中，已知 a11，an2(an1an2a2a1)(n2，nN*)，这个数 列的通项公式是_ 解析：由已知 n2 时，an2Sn1 当 n3 时，an12Sn2 整理得 anan13，(n3)，又 a22S12a12，an 1，n1，23n2，n2.答案：an 1，n123n2，n2 7(2009盐城调研)已知an是等比数列，a22，a48，则 a1a2a2a3a3a4anan 1_.解析：设数列an的公比为 q，则 q2a4a24，q2，a21a22q21，所以 a1a2
5、a2a3a3a4anan1a21(qq3q5q2n1)qq3q2n1 q(1q2n)1q223(14n)答案：23(14n)二、解答题 8(2010江苏通州市高三素质检测)已知等差数列an中，首项 a11，公差 d 为整数，且满足 a13a4，数列bn满足 bn1anan1，其前 n 项和为 Sn，(1)求数列an的通项公式 an；(2)若 S2为 S1，Sm(mN*)的等比中项，求正整数 m 的值 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-3-解：(1)由题意，得 a13a13d，解得32d52.又 dZ，d2.an1(n1)22n1.(2)bn1anan11(2n1)(2n1)1
6、212n112n1，Sn12113 1315 12n112n112112n1 n2n1.S113，S225，Smm2m1，S2为 S1，Sm(mN*)的等比中项，S22SmS1，即25213m2m1，解得 m12.9(2010武进高级中学第一学期期中考试)在各项为负数的数列an中，已知 2an3an1，且 a2a5 827.(1)求证：an是等比数列，并求出通项；(2)试问1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理 由(1)证明：2an3an1，an1an 23数列an是公比 q23的等比数列 又a2a5 827，a1qa1q4 827，即 a21235 827.
7、数列各项均为负数，a132an3223n123n2.(2)解：设 an1681，由(1)令168123n223423n2，4n2，即 n6 1681是数列an的第六项，即 a61681.10(2010句容高级中学调研)在数列an中，a11，a22，且 an1(1q)anqan1(n2，q0)(1)设 bnan1an(nN*)，证明bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)若 a3是 a6与 a9的等差中项，求 q 的值，并证明：对任意的 nN*，an是 an3与 an6的等差中项(1)证明：由题设 an1(1q)anqan1(n2)，得 an1anq(anan1)，即 bnqbn1，n
8、2.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-4-又 b1a2a11，q0，所以bn是首项为 1，公比为 q 的等比数列(2)解：由(1)a2a11，a3a2q，anan1qn2，(n2)将以上各式相加，得 ana11qqn2(n2)所以当 n2 时，an 11qn11q，q1，n，q1.上式对 n1 显然成立(3)证明：由(2)，当 q1 时，显然 a3不是 a6与 a9的等差中项，故 q1.由 a3a6a9a3可得 q5q2q2q8，由 q0 得 q311q6，整理得(q3)2q320，解得 q32 或 q31(舍去)于是 q3 2.另一方面，anan3qn2qn11q qn11
9、q(q31)，an6anqn1qn51q qn11q(1q6)由可得 anan3an6an，nN*.1 一正项等比数列前 11 项的几何平均数为 25，从 11 项中抽去一项后所剩 10 项的几 何平均数仍是 25，那么抽去的这一项是_项 解析：根据已知条件11 a1a2a1125，即 a1a2a11255，即 a1q525，假设抽去第 n 项，则 10 a1a2a11a1qn1 25，a1qn125525025，q5qn1.解得 n6.答案：6 2(2010全国大联考江苏卷)已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足关系式：(2t)Sn1 tSn2t4(t2,0，nN*)(1)当 a1为何值时
10、，数列an是等比数列？(2)在(1)的条件下，设数列an的公比为 f(t)，数列bn满足 b11，bnf(bn1)(n 2,3,4，)，求 bn；(3)在(2)条件下，如果对一切 nN*，不等式 bnbn1c2n1恒成立，求实数 c 的取值范围 解：(1)(2t)Sn1tSn2t4，n2 时，(2t)SntSn12t4，两式相减得(2t)(Sn1Sn)t(SnSn1)0.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-5-(2t)an1tan0，an1an t2t，即 n2 时，an1an 为常数 t2t，当 n1 时，(2t)S2 tS12t4，(2t)(a2a1)ta12t4.解得 a
11、22t42a12t.要使an是等比数列，必须a2a1 t2t，2t42a1(2t)a1 t2t，解得 a12.(2)由(1)得，f(t)t2t，因此当 n2 时，有 bn bn12bn1，即1bn 2bn11.整理得1bn121bn11.则数列1bn1 是首项为1b112，公比为 2 的等比数列 1bn122n12nbn12n1.(3)把 bn12n1，bn112n11代入得：12n112n112n12n1 2n12n11.要使原不等式恒成立，c 必须比上式右边的最大值大，而2n12n1 2n12n11122n112(2n11)322n113222n132(2n11).2n12n1 2n12n11的值随 n 的增大而减小 即当 n1 时，2n12n1 2n12n11取得最大值 4.实数 c 的取值范围是 c4.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-6-高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-7-w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
