1、31.5 空间向量运算的坐标表示内 容 标 准学 科 素 养1.掌握空间向量运算的坐标表示2.掌握空间向量平行与垂直的条件及其应用3.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题.应用直观想象提升逻辑推理和数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练 基础认识知识点一 空间向量线性运算的坐标表示预习教材P9596，思考并完成以下问题(1)已知向量 a(a1，a2)，b(b1，b2)，如何表示 ab，ab，a，ab，|a|.提示：ab(a1b1，a2b2)ab(a1b1，a2b2)a(a1，a2)aba1b1a2b2，|a|a21a22
2、.(2)如果 ab(b0)，则 a，b 坐标满足什么关系，ab 呢？提示：a1b2a2b10 a1b1a2b20.知识梳理 空间向量的坐标运算法则设向量 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，R，那么向量运算向量表示坐标表示加法ab减法ab数乘a数量积ab(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b3知识点二 空间向量平行与垂直条件的坐标表示知识梳理 若向量 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)abab(R)；(2)ab.a1b1，a2b2，a3b3 ab0 a1b1a2b2a3b30知识点三 空间向量
3、的模、夹角、距离公式的坐标表示知识梳理 若向量 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)|a|aa；(2)cosa，b ab|a|b|；(3)若 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 A，B 两点间的距离为dAB|AB|.a21a22a23a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23a1a22b1b22c1c22自我检测1已知空间向量 m(1，3,5)，n(2,2，4)，则有 mn_，3mn_，(2m)(3n)_.答案：(1，1,1)(5，11,19)1682已知空间向量 a(2，1)，b(，8，6)，若 ab，则 _，若 ab，则 _.答案：4
4、 233已知 a(2，2，3)，b(3 2，6,0)，则|a|_，a 与 b 夹角的余弦值等于_答案：3 69探究一 空间向量的坐标运算教材 P97练习 1已知 a(3,2,5)，b(1,5，1)求：(1)ab；(2)3ab；(3)6a；(4)ab.解析：(1)ab(2,7,4)(2)3ab(10,1,16)(3)6a(18,12,30)(4)ab2.例 1(1)已知向量 a(4，2，4)，b(6，3,2)，则(2a3b)(a2b)_.(2)已知 ab(2，2，2 3)，ab(0，2，0)，则 cosa，b等于()A.13 B.16C.63D.66 解析(1)法一：(2a3b)(a2b)(26
5、，13，2)(8,4，8)244.法二：(2a3b)(a2b)2a2ab6b223622649244.(2)ab(2，2，2 3)，ab(0，2，0)，a(1，2，3)，b(1,0，3)，ab4，|a|6，|b|2，cosa，b ab|a|b|42 6 63.故选 C.答案(1)244(2)C方法技巧 1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标2在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(ab)2a22abb2.(2)(ab)(ab)a2b2.跟踪探究 1.若向量 a(1,1，x)，b(1,
6、2,1)，c(1,1,1)，且满足条件(ca)(2b)2，则 x_.解析：(ca)(2b)2，2bc2ab2，即 82(3x)2.x2.答案：2探究二 空间向量平行、垂直的坐标表示阅读教材 P96例 6如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E，F 分别是 BB1，D1B1 的中点，求证 EFDA1.题型：用向量法证明垂直关系方法步骤：建立空间直角坐标系，写出点 E，F，D，A1 的坐标；求出向量EF，DA1 的坐标；求出EF DA1 0，因此 EFDA1.例 2 已知空间三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设AB a，AC b.(1)设向量 c32，1，1，试
7、判断 2ab 与 c 是否平行？(2)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k.解析(1)因为 aAB(1,1,0)，bAC(1,0,2)，所以 2ab(3,2，2)，又 c32，1，1，所以 2ab2c，所以(2ab)c.(2)因为 aAB(1,1,0)，bAC(1,0,2)，所以 kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)又因为(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0，即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100.解得 k2 或52.方法技巧 1.平行与垂直的判断(1)应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线(2)判断两直线是否垂直，关键是判断
8、两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为 0.2平行与垂直的应用(1)适当引入参数(比如向量 a，b 平行，可设 ab)，建立关于参数的方程(2)选择坐标形式，以达到简化运算的目的跟踪探究 2.已知空间向量 a(1,2，3)，b(2，4，x)，c(4，y,6)(1)若 ma，且|m|2 7，求向量 m；(2)若 ac，求实数 y 的值；(3)若(2ab)(a3b)，求实数 x 的值解析：(1)由于 ma，可设 ma(1,2，3)(，2，3)因为|m|2 7，所以 222322 7，即 22，解得 2.故 m(2，2 2，3 2)或 m(2，2 2，3 2)(2)因为 ac，所以 a
9、c0，即42y180，解得 y11.(3)由已知得 2ab(4,8，6x)，a3b(5，10，3x3)，而(2ab)(a3b)，所以45 8106x3x3，解得 x6.探究三 空间向量的夹角与长度的计算阅读教材 P96例 5如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E1，F1分别是 A1B1，C1D1的一个四等分点，求 BE1 与 DF1 所成角的余弦值题型：利用数量积求异面直线所成的角方法步骤：(1)建立适当的空间直角坐标系(2)写出BE1 和D1F 的坐标，并求出BE1 D1F 及|BE1|，|D1F|.(3)由 cosBE1，D1F BE1 D1F|BE1|D1F|，从而求 BE
10、1 与 D1F 所成角的余弦值例 3 棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是 DD1，BD，BB1 的中点(1)求证：EFCF；(2)求异面直线 EF 与 CG 所成角的余弦值；(3)求 CE 的长解析(1)证明：以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0,0,0)，E0，0，12，C(0,1,0)，F12，12，0，G1，1，12.所以EF 12，12，12，CF 12，12，0，CG 1，0，12，CE 0，1，12.因为EF CF 12121212 12 00，所以E
11、F CF，即 EFCF.(2)因为EF CG 12112012 1214，|EF|122122122 32，|CG|1202122 52，所以 cosEF，CG EF CG|EF|CG|1432 52 1515.又因为异面直线所成角的范围是(0，90，所以异面直线 EF 与 CG 所成角的余弦值为1515.(3)|CE|CE|0212122 52.方法技巧 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题跟踪探究 3.如图，在直三棱柱
12、(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1 中，CACB1，BCA90，棱 AA12，N 为 A1A 的中点(1)求 BN 的长；(2)求 A1B 与 B1C 所成角的余弦值解析：如图，以 C 为坐标原点，CA，CB，CC1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Cxyz.(1)依题意得 B(0,1,0)，N(1,0,1)，|BN|102012102 3，线段 BN 的长为 3.(2)依题意得 A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，A1B(1,1，2)，B1C(0，1，2)，A1B B1C(1)01(1)(2)(2)3.又|A1B|6，|B1C|5，
13、cosA1B，B1C A1B B1C|A1B|B1C|3010.又异面直线所成角为锐角或直角，故 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为 3010.课后小结(1)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，只是多了对竖坐标的运算(2)利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直；可以求向量的模以及两个向量的夹角(3)几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决素养培优1忽略向量的方向致误在ABC 中，已知AB(2,4,0)，BC(1,3,0)，则ABC_.易错分析 解答的错误是忽视向量的方向，
14、事实上，ABC 的大小不是向量AB，BC 的夹角，而是向量BA，BC 的夹角考查直观想象、逻辑推理的学科素养自我纠正 BA(2，4,0)，BC(1,3,0)，cosBA，BC BA BC|BA|BC|2122 5 10 22.ABC135.答案：1352忽视两个向量夹角为锐角(钝角)的条件致误已知 a(x，2,3)，b(3,1x，x)，且 a 与 b 的夹角为锐角，求实数 x 的取值范围易错分析 若 a，b 的夹角为锐角，则 ab0；若 ab0，则有可能 a 与 b 同向考查逻辑推理的学科素养自我纠正 因为 a，b 的夹角为锐角，所以 ab0，即 3x2(1x)3x8x20，则 x14.又当夹角为 0时，存在 0，使 ba，所以3x，1x2，x3，解得 x3，因此实数 x 的取值范围为14，3(3，).04 课时 跟踪训练
