1、1多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3【知识拓展】1与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2几个与球有关的切、
2、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和()(2)锥体的体积等于底面积与高之积()(3)球的体积之比等于半径比的平方()(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差()(5)长方体既有外接球又有内切球()(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那
3、么这个圆柱的侧面积是2S.()1(教材改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cm B2 cmC3 cm D. cm答案B解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2 cm.2某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A90 cm2 B129 cm2C132 cm2 D138 cm2答案D解析该几何体如图所示，长方体的长，宽，高分别为6 cm,4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm,4 cm，5 cm，所以表面积S2(4643)3633(5343243)9939138(cm2)3(2016
4、全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()A12 B.C8 D4答案A解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的表面积为4R2(2R)212，故选A.4九章算术商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2 000斛(1丈10尺，1尺10寸，斛为容积单位，1斛1.62立方尺，3)，则圆柱底面圆周长约为()A1丈3尺 B5丈4尺C9丈2尺 D48丈6尺答案B解析设圆柱底面半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为Vr2h2 0001.623r213.33，所以r281，即r9，所以圆柱底面圆周长为2r54,54尺5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为
5、5丈4尺，故选B.5(2016成都一诊)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为_答案11解析由三视图可知半球的半径为2，圆锥底面圆的半径为2，高为2，所以V圆锥23，V半球23，所以V剩余V半球V圆锥，故剩余部分与挖去部分的体积之比为11.题型一求空间几何体的表面积例1(1)(2017淮北月考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A21 B18C21 D18(2)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_答案(1)A(2)12解析 (1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何
6、体的表面积为6(4)2()221.故选A.(2)设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h.由题意，得62h2，h1，斜高h2，S侧62212.思维升华空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用(2016大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为_答案26解析该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积
7、为SS长方体表2S半圆柱底S圆柱轴截面S半圆柱侧24121224212212126.题型二求空间几何体的体积命题点1求以三视图为背景的几何体的体积例2(2016山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D1答案C解析由三视图知，半球的半径R，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，高为1，V1113，故选C.命题点2求简单几何体的体积例3(2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_答案解析设新的底面半径为
8、r，由题意得r24r28524228，解得r.思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解(1)(2016四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为
9、()A. B. C. D.答案(1)(2)A解析(1)由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h1，则体积VSh(21)1.(2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，SAGDSBHC1，VVEADGVFBCHVAGDBHC2VEADGVAGDBHC21.故选A.题型三与球有关的切、接问题例4已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2C. D3答案C解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足
10、为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA .引申探究1已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，从而V外接球R3(2)332，V内切球r323.2已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解正四面体的表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.3已知侧棱和底面边长都是3的正四棱锥，则其外接球
11、的半径是多少？解依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为36，高为 3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解(2016全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内
12、有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B. C6 D.答案B解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.15巧用补形法解决立体几何问题典例(2016青岛模拟)如图，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5，则此几何体的体积为_思想方法指导解答本题时可用“补形法”完成“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还
13、原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等解析用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，所以V几何体V三棱柱SABCAA24896.答案961已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A4 B4 C4 D4答案C解析由题意可知，几何体的体积为圆柱的体积加长方体的体积再减去与长方体等高的圆柱的体积的，即1232211214.2(2016大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为()A. B. C. D(4)答案B解析由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面
14、半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，它们的高均为.则V.故选B.3(2015山东)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D2答案C解析过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BCCE2DE122121，故选C.4(2015安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A1 B
15、2C12 D2答案 B解析由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，该四面体的表面积为S表2212()22，故选B.5(2016广东东莞一中、松山湖学校联考)某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是()A. B6 C. D.答案C解析该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体，所以V4142.故选C.6(2016福建三明一中第二次月考)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，ABAC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()A. B. C2 D1答案A解析由题意知，球心在正方形的
16、中心上，球的半径为1，则正方形的边长为.ABCA1B1C1为直三棱柱，平面ABC平面BCC1B1，BC为截面圆的直径，BAC90.ABAC，AB1.侧面ABB1A1的面积为1.故选A.7.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为_答案解析由题意，图中弧为过球心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为A1AEBAF，所以EAF，由弧长公式知弧的长为2.弧为不过球心的平面与球面相交所得小圆的一段弧，其圆心为B，因为球心到平面BCC1B1的距离d，球的半径R2，所以小圆的半径r1，又GBF，所以弧的长为1.故两段
17、弧长之和为.8(2016新疆乌鲁木齐地区二诊)已知四面体ABCD满足ABCD，ACADBCBD2，则四面体ABCD的外接球的表面积是_答案7解析(图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE.ACADBCBD2，AECD，BECD.在RtAED中，CD，AE.同理BE.取AB的中点为F，连接EF.由AEBE，得EFAB.在RtEFA中，AFAB，AE，EF1.取EF的中点为O，连接OA，则OF.在RtOFA中，OA.OAOBOCOD，该四面体的外接球的半径是，外接球的表面积是7.9. (2016三门峡陕州中学对抗赛)如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO
18、垂直于圆O所在的平面，且POOB1.则三棱锥PABC体积的最大值为_答案解析VPABCPOSABC，当ABC的面积最大时，三棱锥PABC体积达到最大值当COAB时，ABC的面积最大，最大值为211，此时VPABCPOSABC.10(2016浙江)如图，在ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PDDA，PBBA，则四面体PBCD的体积的最大值是_答案解析设PDDAx，在ABC中，ABBC2，ABC120，AC2，CD2x，且ACB(180120)30，SBCDBCDCsinACB2(2x)(2x)要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而
19、P到平面BCD的最大距离为x.则V四面体PBCD(2x)x(x)23，由于0x2，故当x时，V四面体PBCD的最大值为3.11(2015课标全国)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积(1)证明因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.因为BEBDB，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)解设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在Rt AEC中，
20、可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3.故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.*12.如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC，AB2，EB.(1)求证：DE平面ADC；(2)设ACx，V(x)表示三棱锥BACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值(1)证明四边形DCBE为平行四边形，CDBE，BCDE.DC平面ABC，BC平面ABC，DCBC.AB是圆O的直径，BCAC，且DCACC，BC平面ADC.DEBC，DE平面ADC.(2)解DC平面ABC，BE平面ABC.在RtABE中，AB2，EB.在RtABC中，ACx，BC(0x2)，SABCACBCx，V(x)VEABCx(0x2)x2(4x2)()24，当且仅当x24x2，即x时，取等号，x时，体积有最大值.
