1、高三第一次模拟考试数学（理科）一、选择题(每题 5 分，共 60 分)1.点 P 在曲线323xxy上移动时，过点 P 的切线的倾斜角的取值范围是 A,0 B),43)2,0(C 30,22 4 D 30,)24 2.10 张奖券中只有 3 张有奖，5 个人购买，每人 1 张，至少有 1 人中奖的概率是（）A.310 B.112 C.12 D.1112 3.若0)32(02dxxxk，则 k=()A、1 B、0 C、0 或 1 D、以上都不对 4.利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(Nnnnnnnn”时，从“kn”变到 “1 kn”时，左边应增乘的因式是 A 12 k B 1
2、12kk C 1)22)(12(kkk D 132kk 5.设 f(x)是函数 f(x)的导函数，将 yf(x)和 yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()6.若Cz 且|22|,1|22|iziz则的最小值是（）A2 B3 C4 D5 7.已知离散型随机变量 的分布列如图所示，设32 ，则（）A 920,31DE B 910,31DE C 920,2715DE D 947,2725DE 8.某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成，其中 4 个数字互不相同的牌照号码共有（）高*考资*源网 2142610CA 个 242610A A 个 2142610C个
3、242610A个 9.下列关于函数2()(2)xf xxx e的判断：1 0 1 P 21 31 61 ()0f x 的解集是|02;xx(2)f 是极小值，(2)f是极大值；()f x 没有最小值，也没有最大值.其中判断正确的命题个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3 10.以下关于线性回归的判断，正确的个数是()若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的 A，B，C 点；已知回归直线方程为y0.50 x0.81，则 x25 时，y 的估计值为 11.69；回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势 A0 B
4、1 C2 D3 11.在(1x)6(1y)4的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m，n)，则 f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)()A4 B60 C120 D210 12.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为 1p，且各引擎是否有故障是独立的，已知 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2 个引擎飞机要 2 个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行要使 4 个引擎飞机更安全，则 p 的取值范围是()A23，1 B13，1 C0，23 D0，13 二填空题（每题 5 分，共 20 分）13.设 随 机 变 量 N(1,4)，若 P(a b)P(a b)
5、，则 实 数 a 的 值 为_ 14.已知 P(A)14，P(B|A)13，P(AC)124，而 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)_.15.在公元前 3 世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即 V=kD3，欧几里得未给出 k 的值.17 世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式 V=kD3 中的常数 k 称为“立圆率”或“玉积率”类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式 V=kD3 求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长）假设运用此体积公式求得球（直径为 a）
6、、等边圆柱（底面圆的直径为 a）、正方体（棱长为 a）的“玉积率”分别为 k1，k2，k3，那么 k1：k2：k3=16.已知函数 f(x)13x3a2x2+2x 在区间(2，1)上存在单调递减区间,则实数 a 的取值范围是.三.解答题17.已知复数 z 的共轭复数为 z，且 z z 3iz 1013i，求 z.来源:学科网 ZXXK 18.设函数 2lnf xxaxbx,曲线 yf x过(1,0)p,且在 P 点处的切线斜率为2.1.求,a b 的值;2.证明:22f xx.19.为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙
7、两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为 20 人)学生的数学期末考试成绩.甲乙090 1 5 6 87 7 3 280 1 2 5 6 6 8 98 4 2 2 1 071 3 5来源:Z|xx|k.Com9 8 7 7 665 7 8 98 8 7 75(1)现从甲班数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为 87 分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于 75 分的为优秀请填写下面的 22 列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.甲班乙班合计优秀不优秀合计下面临界值表供参考：P(K2k)0.150.1
8、00.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：K2nadbc2abcdacbd)20.数列an满足 a116，前 n 项和 Snnn12an.(1)写出 a2，a3，a4；(2)猜出 an 的表达式，并用数学归纳法证明来源:Z,xx,k.Com21.某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行 5 次统一测试，学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加 5 次测试假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试通过与否互相独立规定：若前 4 次都没
9、有通过测试，则第 5 次不能参加测试(1)求该学生考上大学的概率(2)如果考上大学或参加完 5 次测试就结束，记该生参加测试的次数为，求 的分布列及 的数学期望22.设函数 212xkfxxex（其中kR）（1）求函数 f x 的单调区间；（2）当0k 时，讨论函数 f x 的零点个数高三第一次模拟考试数学（理科）答案 一DBACD BAACD CB二13.1 14.1215.:164 16.(，2 2)17.解 zabi(a，bR)，则 z abi.又 z z 3iz 1013i，a2b23i(abi)1013i10，a2b23b3ai13i，a2b23b1，3a3.a1，b0，或a1，b3
10、.z1，或 z13i.18.解.答案：1.12bfxaxx.由已知条件得 10 12ff即 10122aab 解得1,3ab.2.f x 的定义域为0,由 1 知 23lnf xxxx.设 22223lng xf xxxxx,则 1 2331 2xxgxxxx .当01x 时,0gx;当1x 时,0gx.所以 g x 在0,1 单调递增,在1,单调递减.而 10g,故当0 x 时,0g x,即 22f xx.19.(1)甲班成绩为 87 分的同学有 2 个，其他不低于 80 分的同学有 3 个“从甲班数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有 C2510
11、个，“抽到至少有一个 87 分的同学”所组成的基本事件有 C13C12C227 个，所以 P 710.(2)甲班乙班合计优秀61420不优秀14620合计202040K2406614142202020206.45.024，因此，我们有 97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关20.解(1)令 n2，a116，S22212a2，即 a1a23a2.a2 112.令 n3，得 S33312a3，即 a 1a2a36a3，a3 120.令 n4，得 S44412a4，即 a1a2a3a410a4，a4 130.(2)猜想 an1n1n2，下面用数学归纳法给出证明当 n1 时，a11611112，结
12、论成立假设当 nk 时，结论成立，即 ak1k1k2，则当 nk1 时，Skkk12akkk121k1k2k2k2，Sk1k1k22ak1，即 Skak1k1k22ak1.k2k2ak1k1k22ak1.ak1k2k2k1k221kkk3k21k2k3.当 nk1 时结论成立由可知，对一切 nN*都有 an1n1n2.21.(1)记“该学生考上大学”为事件 A，其对立事件为 A，则P(A)C14(13)(23)3(23)(23)4 642431681112243.P(A)1P(A)1112243131243.(2)该生参加测试次数 的可能取值为 2、3、4、5.P(2)(13)219，P(3)
13、C12132313 427，P(4)C1313(23)213(23)4 42716812881，P(5)C1413(23)33281.故 的分布列为2345P1942728813281E()2193 427428815328132681.22.（1）函数 f x 的定义域为,，1xxxxfxexekxxekxx ek，当0k 时，令 0fx，解得0 x，所以 f x 的单调递减区间是,0，单调递增区间是0,，当01k 时，令 0fx，解得lnkx 或0 x，所以 f x 在,ln k和0,上单调递增，在ln,0k上单调递减，当1k 时，0fx，f x 在,上单调递增，当1k 时，令 0fx，解
14、得0 x 或lnxk，所以 f x 在,0和ln,k 上单调递增，在0,ln k 上单调递减；（2）01f ，当01k 时，由（1）知，当,0 x 时，22maxlnln1lnln11022kkf xfxfkkkkk，此时 f x 无零点，当0,x 时，222220feke，又 f x 在0,上单调递增，所以 f x 在0,上有唯一的零点，故函数 f x 在定义域,上有唯一的零点，当1k 时，由（1）知，当,lnkx 时，max010f xfxf ，此时 f x无零点；当ln,xk 时，ln010fkf ，221111122kkk kkf kkek e，来源:学科网 ZXXK令 21,122tg tettk，则 ,1ttg tet gte，因为 2,0,tgtg t在2,上单调递增，2220g tge，所以 g t 在2,上单调递增，得 2220g tge，即10f k，所以 f x在ln,k 上有唯一的零点，故函数 f x 在定义域,上有唯一的零点综全知，当0k 时函数 f x 在定义域,上有且只有一个零点
