1、第2课时 双曲线的几何性质及应用内 容 标 准学 科 素 养1.掌握利用双曲线的定义解决有关问题的方法2.理解直线与双曲线的位置关系及其判断方法.利用直观想象提高数学运算及逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 直线与双曲线的位置关系思考并完成以下问题直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？提示：不能设直线 l：ykxm(m0)，双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)，把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)当 b2a2k20，即 kb
2、a时，直线 l 与双曲线 C 的渐近线_，直线与双曲线_提示：平行 相交于一点(2)当 b2a2k20，即 kba时，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)0直线与双曲线_，此时称直线与双曲线_；0直线与双曲线_，此时称直线与双曲线_；0，b0)，两方程联立消去 y，得 mx2nxq0.位置关系公共点个数判定方法相交2 个或 1 个m0 或m00相切1 个m0 且 0相离0 个m0 且 0，1k20，得2 33 k2 33 且 k1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点(2)由43k20，1k20，得 k2 33，此时方程(*)有两个相同的实数解，
3、即直线与双曲线有且只有一个公共点，当 1k20，即 k1 时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为 2x5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点故当 k2 33 或1 时，直线与双曲线有且只有一个公共点(3)由43k20，1k20，得 k2 33，此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点方法技巧(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为 0 时，直线与渐近线平行的特殊情况(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行(3)注意对直线 l 的斜率是否存在进行讨论跟踪
4、探究 1.已知直线 l：xy1 与双曲线 C：x2a2y21(a0)(1)若 a12，求 l 与 C 相交所得的弦长；(2)若 l 与 C 有两个不同的交点，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围解析：(1)当 a12时，双曲线 C 的方程为 4x2y21，联立xy1，4x2y21，消去 y，得3x22x20.设两交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x223，x1x223，则|AB|x1x22y1y22 x1x22x1x22 2 x1x224x1x2 2289 2 143.(2)将 yx1 代入双曲线x2a2y21，得(1a2)x22a2x2a20，1a20，4a48a21a20
5、，解得 0a 62 且 e 2.即离心率 e 的取值范围是62，2(2，)探究二 弦的中点问题教材 P62B 组 4 题已知双曲线 x2y221，过点 P(1,1)能否作一条直线 l，与双曲线交于A，B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点？解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21y2121，x22y2221，以上两式相减得x21x22y212y222 0，即(x1x2)(x1x2)y1y2y1y220，即 2(x1x2)2y1y220，即 y1y22(x1x2)，kABy1y2x1x22，直线 l 的方程为 y12(x1)，即 y2x1.由y2x1，x2y221得 2x24x
6、30，162480，b0)的一个焦点为 F(3，0)，实轴长为 2，经过点 M(2,1)作直线 l 交双曲线 C 于 A，B 两点，且 M 为 AB 的中点(1)求双曲线 C 的方程；(2)求直线 l 的方程解析(1)由已知，得 2a2，c 3，所以 a1，b2c2a22.所以双曲线 C 的方程为 x2y221.(2)设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知直线 l 的斜率存在，则可设直线 l 的方程为 y1k(x2)，即 ykx12k.把 ykx12k 代入双曲线 C 的方程 x2y221，得(2k2)x22k(12k)x(12k)220，由题意可知 2k20，所以 xMx1x2
7、2k12k2k2 2，解得 k4.当 k4 时，方程可化为 14x256x510.此时 56256512800，方程有两个不等的实数解所以直线 l 的方程为 y4x7.方法技巧 与双曲线有关的弦长、弦中点问题的解题技巧(1)利用弦长公式|AB|1k2|xAxB|1k2 xAxB24xAxB，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量之间的关系(3)在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)中，若直线 l 与双曲线相交于 M
8、，N 两点，点 P(x0，y0)是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 kMN，则 kMNy0 x0b2a2.方法技巧 与双曲线有关的弦长、弦中点问题的解题技巧(1)利用弦长公式|AB|1k2|xAxB|1k2 xAxB24xAxB，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量之间的关系(3)在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)中，若直线 l 与双曲线相交于 M，N 两点，点 P(x0，y0)是弦 MN
9、 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 kMN，则 kMNy0 x0b2a2.跟踪探究 2.设 A，B 为双曲线 x2y221 上的两点，线段 AB 的中点为 M(1,2)求：(1)直线 AB 的方程；(2)OAB 的面积(O 为坐标原点)解析：(1)显然直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y2k(x1)，即 ykx2k.由ykx2k，x2y221，消去 y，整理得(2k2)x22k(2k)xk24k60.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 1x1x22k2k2k2，解得 k1.当 k1 时，满足 0，直线 AB 的方程为 yx1.(2)由(1)得 x1x22，x1x
10、23，|AB|2 x1x224x1x2 2 4124 2.又 O 到直线 AB 的距离 d 12 22，SAOB12|AB|d124 2 22 2.探究三 与双曲线有关的轨迹问题阅读教材 P59例 5点 M(x，y)到定点 F(5,0)的距离和它到定直线 l：x165 的距离的比是常数54，求点 M 的轨迹题型：求轨迹问题方法步骤：(1)确定动点 M 的几何性质.|MF|d 54(其中 d 是 M 到 l 的距离)(2)将 M 的几何性质坐标化，并化简整理，得到 M 的轨迹方程，从而得出 M 的轨迹是双曲线例 3 若动圆 P 经过定点 A(3,0)，且与定圆 B：(x3)2y216 外切，试求
11、动圆圆心P 的轨迹解析 设动圆圆心 P(x，y)，半径为 r.则依题意有|PA|r，|PB|r4，故|PB|PA|4.即动圆圆心 P 到两个定点 B(3,0)，A(3,0)的距离之差等于常数 4，且 40，b0)，则 c3,2a4，b25，所以动圆圆心 P 的轨迹方程为x24 y251(x2)动圆圆心 P 的轨迹是双曲线x24 y251 的右支方法技巧 解决轨迹问题时，如果在题目的条件中，出现了定点(m,0)，(m,0)或(0，m)，(0，m)(当然也可以是某定圆的圆心)时，就要重点考察动点所满足的条件，特别是考察动点到两个定点的距离之差(绝对值)是不是一个定值，如果是一个定值，并且这个定值小
12、于两个定点之间的距离，那么动点的轨迹就是双曲线跟踪探究 3.动点 P 与点 F1(0,5)与点 F2(0，5)满足|PF1|PF2|6，则点 P 的轨迹方程为()A.x29 y2161 Bx216y291Cx216y291(y3)Dx216y291(y3)解析：由双曲线的定义知P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的下支，故 c5，a3，b4.P 的轨迹方程为y29x2161.故选 D.答案：D课后小结1直线与双曲线的位置关系的判定方法直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况，其判定方法通常也是用 来解决设直线方程为 AxByC0(A，B 不同时为 0)，双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，两方程联立消去 y 得 mx2nxq0(*)形式的方程(1)若 m0，方程(*)为关于 x 的一元二次方程当 0 时，方程有两解，则直线与双曲线相交于两点；当 0 时，方程有一解，则直线与双曲线相切；当 0.得出 a 的取值范围，思维不严谨致误，应该先考虑二次项系数不为 0，其次再考虑 0.考查直观想象和逻辑推理的学科素养自我纠正 由yax13x2y21 得(3a2)x22ax20.直线与双曲线相交于两点，3a20，0 6a 6且 a 3.a 的取值范围是 6a 6且 a 3.答案：6a 6且 a 304 课时 跟踪训练
