1、课时达标训练(十二) “解析几何”专题提能课A组1过点P(2,1)且倾斜角的正弦值为的直线方程为_解析:设所求直线的倾斜角为,则由题设知sin ,因为00,b0)的一个焦点在直线l:xy40上,且双曲线的一条渐近线与直线l垂直,则该双曲线的方程为_解析:依题意,知双曲线的焦点在y轴上,因为直线l与y轴的交点坐标为(0,4),所以双曲线的焦点坐标为(0,4),即c 4.又直线l的斜率为,直线l与双曲线的一条渐近线垂直,所以,所以可得a24,b212,故该双曲线的方程为1.答案:13(2019南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中,已知A是抛物线y24x与双曲线1(b0)的一个交点若抛物线的焦点为
2、F,且FA5,则双曲线的渐近线方程为_解析:由题意知,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x1.因为AF5,所以点A到抛物线的准线的距离也为5,所以A(4,4)或A(4,4),又点A在双曲线上,所以1,得b,所以双曲线的渐近线方程为yx.答案:yx4若关于x的方程 a(x1)1有两个不相等的实数根,那么实数a的取值范围是_解析:作出函数y的图象,它是单位圆的上半部分,作出直线ya(x1)1,它是过点A(1,1)的直线,由图象可知,实数a的取值范围是.答案:5(2019姜堰中学模拟)如图,已知椭圆C:1(ab0,a1)的离心率e,右顶点到直线axby1的距离为1,过点P(0,2)的直线l交椭圆
3、C于A,B两点(1)求椭圆C的标准方程;(2)设M为AB的中点,连接OM并延长交椭圆C于点N,若,求直线AB的方程;(3)若直线OB交椭圆C于另一点Q,求ABQ面积的最大值解:(1)离心率e,得.设椭圆C的右顶点(a,0)到直线axby1的距离为d,则d1,将a23b2代入上式得,d1,得b1,a或b,a.a1,a,b1.故椭圆C的标准方程为y21.(2)显然过点P的直线l的斜率存在且不为0,不妨设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为ykx2(k0)由消去y并整理得(13k2)x212kx90,由144k236(13k2)36(k21)0,得k21.设M(x0,y0),A(x1,y1),
4、B(x2,y2),N(x3,y3),则x1,2.x0,y0kx02k2.,即点N(x3,y3)在椭圆上,y1,即4x12y3,即4123,整理得3k414k250,解得k.故直线AB的方程为yx2.(3)连接AO,由椭圆的对称性可知,BOOQ,则SABQ2SAOB.设点O到直线AB的距离为h,由(2)得AB,h,SAOBABh,SABQ2SAOB.令t,则t0,k2t21,SABQ,当且仅当t,k2,即k时等号成立,(SABO)max.B组1已知直线l:mxy3m0与圆x2y212交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点若|AB|2,则|CD|_解析:由直线l:mxy3m0知
5、其过定点(3,),圆心O到直线l的距离为d.由|AB|2得()212,解得m.又直线l 的斜率为m,所以直线l的倾斜角.画出符合题意的图形如图所示,过点C作CEBD,则DCE.在RtCDE中,可得|CD|24.答案:42.如图,设F1,F2分别是椭圆E:x21(0b1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点若|AF1|3|F1B|,AF2x轴,则椭圆E的方程为_解析:设F1(c,0),F2(c,0),其中c,则可设A(c,b2),B(x0,y0),由|AF1|3|F1B|,可得3,故即代入椭圆方程可得b21,解得b2,故椭圆方程为x21.答案:x2y213(2019南京三模)在平面直
6、角坐标系xOy中,过双曲线1(a0,b0)的右焦点F作一条渐近线的平行线,交另一条渐近线于点P,若线段PF的中点恰好在此双曲线上,则此双曲线的离心率为_解析:双曲线的渐近线方程为yx,右焦点F(c,0),根据对称性,不妨设平行线方程为y(xc),易知它与另一条渐近线yx交于点P.所以线段PF的中点坐标为,代入双曲线的方程得1,即c22a2,所以双曲线的离心率e.答案:4若椭圆1(ab0)上存在一点M,它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍,则椭圆离心率的最小值为_. 解析:由题意,设点M的横坐标为x,根据焦半径公式得,aex2,x,有aa,不等式各边同除以a,得11,则1e2,即e23e20,
7、又0e1,所以eb0)的离心率为,焦点到相应准线的距离为.求椭圆E的标准方程; 解:设椭圆的半焦距为c,由已知得,c,c2a2b2,解得a2,b1,c,椭圆E的标准方程是y21.C组1设mR,过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x,y),则|PA|PB|的最大值是_解析:易求定点A(0,0),B(1,3)当P与A和B均不重合时,不难验证PAPB,所以|PA|2|PB|2|AB|210,所以|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时,等号成立),当P与A或B重合时,|PA|PB|0,故|PA|PB|的最大值是5.答案:52已知O为坐标原点,F是椭圆C:1(ab0)的左
8、焦点,A,B分别为C的左、右顶点P为C上一点,且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为_解析:如图所示,由题意得A(a,0),B(a,0),F(c,0)设E(0,m),由PFOE,得,则|MF|.又由OEMF,得,则|MF|.由得ac(ac),即a3c,e.答案:3设点M(x0,1),若在圆O:x2y21上存在点N,使得OMN45,则x0的取值范围是_答案:1,14已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|2c,若椭圆上存在点M使得,则该椭圆离心率的取值范围为_解析:在MF1F2中,而,.又M是椭圆1上一点,F1
9、,F2是椭圆的焦点,|MF1|MF2|2a.由得,|MF1|,|MF2|.显然|MF2|MF1|,ac|MF2|ac,即ac0,e22e10,又0e1,1eb0)经过点P,且点P与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C上存在两点Q,R,使得PQR的垂心(三角形三条高的交点)恰为坐标原点O,试求直线QR的方程解:(1)由题意,得得所以椭圆C的方程为1.(2)设Q(x1,y1),R(x2,y2),连接PO,QO(图略),因为QRPO,且kPO,所以kQR,故可设直线QR的方程为yxm.联立,得消去y,得5x24mx2m240.由0得32m220(2m24)0,得m2
10、b0),则A(0,b),B(0,b),T,设直线AT与BF交于CAT:1,BF:1,联立,解得交点C,代入得:1.满足式,则C点在椭圆上,A,C,T共线,C与C重合,A,C,T三点共线(2)过C作CEx轴,垂足为E(图略),则OBFECF.3,CEb,EFc,则C,代入得:1,a22c2,b2c2.设P(x0,y0),则x02y2c2,此时C,ACc,SABC2cc2,直线AC的方程为x2y2c0,点P到直线AC的距离为d,SAPCdACcc.只需求x02y0的最大值(x02y0)2x4y22x0y0x4y2(xy)3(x2y)6c2,x02y0c,当且仅当x0y0c时,(x02y0)maxc.四边形的面积最大值为c2c2c2,c21,a22,b21,此时椭圆方程为y21,P点坐标.