1、课时达标训练(十二) “解析几何”专题提能课A组1过点P(2，1)且倾斜角的正弦值为的直线方程为_解析：设所求直线的倾斜角为，则由题设知sin ，因为00，b0)的一个焦点在直线l：xy40上，且双曲线的一条渐近线与直线l垂直，则该双曲线的方程为_解析：依题意，知双曲线的焦点在y轴上，因为直线l与y轴的交点坐标为(0，4)，所以双曲线的焦点坐标为(0，4)，即c 4.又直线l的斜率为，直线l与双曲线的一条渐近线垂直，所以，所以可得a24，b212，故该双曲线的方程为1.答案：13(2019南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，已知A是抛物线y24x与双曲线1(b0)的一个交点若抛物线的焦点为
2、F，且FA5，则双曲线的渐近线方程为_解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.因为AF5，所以点A到抛物线的准线的距离也为5，所以A(4，4)或A(4，4)，又点A在双曲线上，所以1，得b，所以双曲线的渐近线方程为yx.答案：yx4若关于x的方程 a(x1)1有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是_解析：作出函数y的图象，它是单位圆的上半部分，作出直线ya(x1)1，它是过点A(1，1)的直线，由图象可知，实数a的取值范围是.答案：5(2019姜堰中学模拟)如图，已知椭圆C：1(ab0，a1)的离心率e，右顶点到直线axby1的距离为1，过点P(0，2)的直线l交椭圆
3、C于A，B两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设M为AB的中点，连接OM并延长交椭圆C于点N，若，求直线AB的方程；(3)若直线OB交椭圆C于另一点Q，求ABQ面积的最大值解：(1)离心率e，得.设椭圆C的右顶点(a，0)到直线axby1的距离为d，则d1，将a23b2代入上式得，d1，得b1，a或b，a.a1，a，b1.故椭圆C的标准方程为y21.(2)显然过点P的直线l的斜率存在且不为0，不妨设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为ykx2(k0)由消去y并整理得(13k2)x212kx90，由144k236(13k2)36(k21)0，得k21.设M(x0，y0)，A(x1，y1)，
4、B(x2，y2)，N(x3，y3)，则x1，2.x0，y0kx02k2.，即点N(x3，y3)在椭圆上，y1，即4x12y3，即4123，整理得3k414k250，解得k.故直线AB的方程为yx2.(3)连接AO，由椭圆的对称性可知，BOOQ，则SABQ2SAOB.设点O到直线AB的距离为h，由(2)得AB，h，SAOBABh，SABQ2SAOB.令t，则t0，k2t21，SABQ，当且仅当t，k2，即k时等号成立，(SABO)max.B组1已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_解析：由直线l：mxy3m0知
5、其过定点(3，)，圆心O到直线l的距离为d.由|AB|2得()212，解得m.又直线l 的斜率为m，所以直线l的倾斜角.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CEBD，则DCE.在RtCDE中，可得|CD|24.答案：42.如图，设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_解析：设F1(c，0)，F2(c，0)，其中c，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|3|F1B|，可得3，故即代入椭圆方程可得b21，解得b2，故椭圆方程为x21.答案：x2y213(2019南京三模)在平面直
6、角坐标系xOy中，过双曲线1(a0，b0)的右焦点F作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，若线段PF的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为_解析：双曲线的渐近线方程为yx，右焦点F(c，0)，根据对称性，不妨设平行线方程为y(xc)，易知它与另一条渐近线yx交于点P.所以线段PF的中点坐标为，代入双曲线的方程得1，即c22a2，所以双曲线的离心率e.答案：4若椭圆1(ab0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为_. 解析：由题意，设点M的横坐标为x，根据焦半径公式得，aex2，x，有aa，不等式各边同除以a，得11，则1e2，即e23e20，
7、又0e1，所以eb0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为.求椭圆E的标准方程； 解：设椭圆的半焦距为c，由已知得，c，c2a2b2，解得a2，b1，c，椭圆E的标准方程是y21.C组1设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_解析：易求定点A(0，0)，B(1，3)当P与A和B均不重合时，不难验证PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|PB|0，故|PA|PB|的最大值是5.答案：52已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左
8、焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为_解析：如图所示，由题意得A(a，0)，B(a，0)，F(c，0)设E(0，m)，由PFOE，得，则|MF|.又由OEMF，得，则|MF|.由得ac(ac)，即a3c，e.答案：3设点M(x0，1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_答案：1，14已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|2c，若椭圆上存在点M使得，则该椭圆离心率的取值范围为_解析：在MF1F2中，而，.又M是椭圆1上一点，F1
9、，F2是椭圆的焦点，|MF1|MF2|2a.由得，|MF1|，|MF2|.显然|MF2|MF1|，ac|MF2|ac，即ac0，e22e10，又0e1，1eb0)经过点P，且点P与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上存在两点Q，R，使得PQR的垂心(三角形三条高的交点)恰为坐标原点O，试求直线QR的方程解：(1)由题意，得得所以椭圆C的方程为1.(2)设Q(x1，y1)，R(x2，y2)，连接PO，QO(图略)，因为QRPO，且kPO，所以kQR，故可设直线QR的方程为yxm.联立，得消去y，得5x24mx2m240.由0得32m220(2m24)0，得m2
10、b0)，则A(0，b)，B(0，b)，T，设直线AT与BF交于CAT：1，BF：1，联立，解得交点C，代入得：1.满足式，则C点在椭圆上，A，C，T共线，C与C重合，A，C，T三点共线(2)过C作CEx轴，垂足为E(图略)，则OBFECF.3，CEb，EFc，则C，代入得：1，a22c2，b2c2.设P(x0，y0)，则x02y2c2，此时C，ACc，SABC2cc2，直线AC的方程为x2y2c0，点P到直线AC的距离为d，SAPCdACcc.只需求x02y0的最大值(x02y0)2x4y22x0y0x4y2(xy)3(x2y)6c2，x02y0c，当且仅当x0y0c时，(x02y0)maxc.四边形的面积最大值为c2c2c2，c21，a22，b21，此时椭圆方程为y21，P点坐标.