1、6.4 数列中的构造问题 题型一 形如 an1panf(n)型命题点 1 an1panq(p0,1，q0，其中 a1a)例 1(2022九江模拟)在数列an中，a15，an13an4，求数列an的通项公式解 由 an13an4，可得 an123(an2)，所以an12an2 3.又 a15，所以an2是以 a123 为首项，3 为公比的等比数列，所以 an23n，所以 an3n2.命题点 2 an1panqnc(p0,1，q0)例 2 已知数列an满足 an12ann1(nN*)，a13，求数列an的通项公式解 an12ann1，an1(n1)2(ann)，an1n1ann2，数列ann是以
2、a112 为首项，2 为公比的等比数列，ann22n12n，an2nn.命题点 3 an1panqn(p0,1，q0,1)例 3 在数列an中，a11，an12an43n1，求数列an的通项公式解 方法一 原递推式可化为an13n2(an3n1)比较系数得 4，式即是an143n2(an43n1)则数列an43n1是首项为 a143115，公比为 2 的等比数列，an43n152n1，即 an43n152n1.方法二 将 an12an43n1 的两边同除以 3n1，得an13n123an3n432，令 bnan3n，则 bn123bn49，设 bn1k23(bnk)，比较系数得 k43，则bn
3、143bn4323，bn43 是以53为首项，23为公比的等比数列bn4353 23n1，则 bn4353 23n1，an3nbn43n152n1.思维升华(1)形如 an1an(0,1，0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列(2)递推公式 an1an 的推广式 an1ann(0,1，0，0,1)，两边同时除以n1 后得到an1n1ann，转化为 bn1kbn(k0,1)的形式，通过构造公比是 k 的等比数列bn1k 求解跟踪训练 1(1)(2022武汉二中月考)已知正
4、项数列an中，a12，an12an35n，则数列an的通项公式为()Aan32n1Ban32n1Can5n32n1Dan5n32n1答案 D解析 方法一 将递推公式an12an35n 的两边同时除以 5n1，得an15n125an5n35，令an5nbn，则式变为 bn125bn35，即 bn1125(bn1)，所以数列bn1是首项为b11a15 135，公比为25的等比数列，所以 bn135 25n1，即 bn135 25n1132n15n，故 an5n32n1.方法二 设 an1k5n12(ank5n)，则 an12an3k5n，与题中递推公式比较得 k1，即 an15n12(an5n)，
5、所以数列an5n是首项为 a153，公比为 2 的等比数列，则 an5n32n1，故 an5n32n1.(2)(2022衡水质检)设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a11，Sn12Sn1，nN*，则数列an的通项公式为_答案 an2n1，nN*解析 因为 Sn12Sn1，所以 Sn12Sn1.因此 Sn112(Sn1)，因为 a1S11，S112，所以Sn1是首项为 2，公比为 2 的等比数列所以 Sn12n，Sn2n1.当 n2 时，anSnSn12n1，a11 也满足此式，所以 an2n1，nN*.题型二 相邻项的差为特殊数列(形如 an1panqan1，其中 a1a，a2b 型)例
6、 4 已知在数列an中，a15，a22，an2an13an2(n3)，求这个数列的通项公式解 an2an13an2，anan13(an1an2)，又 a1a27，anan1是首项为 7，公比为 3 的等比数列，则 anan173n2，又 an3an1(an13an2)，a23a113，an3an1是首项为13，公比为1 的等比数列，则 an3an1(13)(1)n2，3得，4an73n113(1)n1，an743n1134(1)n1.思维升华 可以化为 an1x1anx2(anx1an1)，其中 x1，x2 是方程 x2pxq0 的两个根，若 1 是方程的根，则直接构造数列anan1，若 1
7、不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列an跟踪训练 2(1)数列an中，a18，a42，且满足 an22an1an(nN*)，则数列an的通项公式为_答案 an102n(nN*)解析 由题意知，an2an1an1an，所以an为等差数列设公差为 d，由题意得 283dd2，得 an82(n1)102n.(2)在数列an中，a11，a23，an23an12an，则 an_.答案 2n1解析 由题意知，an2an12(an1an)，a2a12，anan1是首项为 2，公比为 2 的等比数列，anan12n1(n2)，当 n2 时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12
8、n12n22112n12 2n1.显然 n1 时满足上式，an2n1.题型三 倒数为特殊数列形如an1 panrans型例 5(1)已知数列an中，a11，an1 2anan2，则 an_.答案 2n1解析 an1 2anan2，a11，an0，1an11an12，即 1an11an12，又 a11，则1a11，1an 是以 1 为首项，12为公差的等差数列 1an1(n1)12n212，an 2n1(nN*)(2)已知在数列an中，a12，an1 anan3(nN*)，则 an_.答案 223n11解析 1an13 1an1，1an11231an12，1a1121，1an12 是以 1 为首
9、项，3 为公比的等比数列，1an123n1，1an3n112，an223n11(nN*)思维升华 两边同时取倒数转化为 1an1sp 1anrp的形式，化归为 bn1pbnq 型，求出1an的表达式，再求 an.跟踪训练 3(1)已知函数 f(x)x3x1，数列an满足 a11，an1f(an)(nN*)，则数列an的通项公式为_答案 an13n2(nN*)解析 由已知得，an1an3an1，1an11an3，即 1an1 1an3，数列1an 是首项为1a11，公差为 d3 的等差数列，1an1(n1)33n2.故 an13n2(nN*)(2)已知数列an满足 a11，an1an2nan1，
10、则 an_.答案 1n2n1解析 对递推关系两边取倒数，得 1an12nan1an 1an2n.即 1an11an2n，分别用 1,2,3，n1 替换 n，有1a2 1a121，1a3 1a222，1a4 1a323，1an 1an12(n1)，以上 n1 个式子相加，得 1an1a12123(n1)n(n1)，所以1ann2n1.所以 an1n2n1.课时精练1数列an满足 an4an13(n2)且 a10，则此数列第 5 项是()A15B255C16D63答案 B解析 an4an13(n2)，an14(an11)(n2)，an1是以 1 为首项，4 为公比的等比数列，则 an14n1.an
11、4n11，a5441255.2(2022许昌模拟)数列an的首项 a12，且 an14an6(nN*)，令 bnlog2(an2)，则b1b2b2 0222 022等于()A2 020B2 021C2 022D2 023答案 D解析 an14an6(nN*)，an124an624(an2)0，即an12an2 4 且 a12，数列an2是以 4 为首项，4 为公比的等比数列，故 an24n，由 bnlog2(an2)得，bnlog24n2n，设数列bn的前 n 项和为 Sn，则 S2 0222(1232 0212 022)2 0222 023，b1b2b2 0222 0222 0222 023
12、2 0222 023.3(2022绵阳模拟)已知数列an满足：a1a22，an3an14an2(n3)，则 a9a10 等于()A47B48C49D410答案 C解析 由题意得 a1a24，由 an3an14an2(n3)，得 anan14(an1an2)，即 anan1an1an24(n3)，所以数列anan1是首项为 4，公比为 4 的等比数列，所以 a9a1049.4已知数列an满足：a11，an12an2n，nN*，则 a4 等于()A64B56C32D24答案 C解析 由 an12an2n 得an12n1an2n12，而a12 12，数列an2n 是首项为12，公差为12的等差数列，
13、an2n12(n1)12n2，ann2n1，a4424132.5已知数列an满足 a11，an1 anan2(nN*)若 bnlog21an1，则数列bn的通项公式 bn 等于()A.12nBn1CnD2n答案 C解析 由 an1 anan2，得 1an112an，所以 1an1121an1，又 1a112，所以数列1an1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以1an122n12n，所以 bnlog21an1 log22nn.6已知数列an满足 a11，an1an23an(nN*)，则下列结论正确的是()A.1an3 为等比数列Ban的通项公式为 an12n13Can为递增数列D.1an
14、 的前 n 项和 Tn2n23n4答案 A解析 因为 an1an23an，所以 1an123anan2an3，所以 1an1321an3，且 1a1340，所以1an3 是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，即1an342n1，所以1an2n13，可得 an12n13，故选项 A 正确，选项 B 不正确；因为1an2n13 单调递增，所以 an12n13单调递减，即an为递减数列，故选项 C 不正确；1an 的前 n 项和 Tn(223)(233)(2n13)(22232n1)3n2212n12 3n2n23n4.故选项 D 不正确7已知数列an中，a11，an13an3n，则 a5 等于(
15、)A405B300C450D500答案 A解析 an13an3n，an13n1an3n13，数列an3n 是等差数列，公差为13，又a13 13，an3n13(n1)13n3，ann3n1，a5534405.8(2022甘肃西北师大附中模拟)已知数列an满足 a1 110，anan1anan1(nN*)，则n2nan的最小值为()A.252B12C24D.392答案 D解析 a1 110，anan1anan1(nN*)，1a110，1an1 1an1，数列1an 是以 10 为首项，1 为公差的等差数列，1ann9，n2nan n2n9nn18n 11.yn18n 在(0,3 2)上单调递减，
16、在(3 2，)上单调递增，当 n4 时，n2nan 取得最小值为392.9已知数列an满足 a11，anan12anan1，则 an_.答案 12n1解析 因为 anan12anan1，所以等式两边同除以 anan1 得 1an1 1an2，所以数列1an 是以1a11 为首项，2 为公差的等差数列，所以1an12(n1)2n1，所以 an12n1.10已知数列an中，a156，an113an 12n1，则 an_.答案 3 12n2 13n解析 由 an113an 12n1，两边同除以 12n1，即两边同乘以 2n1，得 2n1an123(2nan)1，令 bn2nan，则 bn123bn1
17、，bn1323(bn3)，所以bn3是以 b1343为首项，23为公比的等比数列，即 bn343 23n1，所以 bn32 23n，所以 anbn2n3 12n2 13n.11已知首项为 1 的数列an各项均为正数，且 na2n1(n1)a2nanan1，则 an_.答案 n解析 因为 na2n1(n1)a2nanan1，所以 n(an1an)(an1an)an(an1an)，因为数列an各项均为正数，所以 an1an0，所以 n(an1an)an，所以an1n1ann，所以ann 为常数列，由 a11，所以ann a11 1，所以 ann.12已知数列an满足递推公式 an12an1，a11.设 Sn 为数列an的前 n 项和，则 an_，4n7nSnan1的最小值是_答案 2n1 174解析 因为 an12an1，所以 an112(an1)，所以数列an1是首项为 a112，公比为 2 的等比数列，所以 an12n，所以 an2n1；所以 Sn222232nn212n12 n2n12n，所以4n7nSnan14n7n2n12n2n2n92n2，由对勾函数的性质可得，当 n1 时，212,21 9212292292；当 n2 时，2n4，所以 y2n 92n2 单调递增，当 n2 时，22 92224942174 92，所以4n7nSnan1的最小值是174.
