1、28.1 锐角三角函数正弦、余弦、正切一、基础巩固达标1.在RtABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值( )A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定2.已知是锐角，且cos=，则sin=( )A. B. C. D.3.RtABC中，C=90，ACBC=1，则cosA=_，tanA=_.4.设、为锐角，若sin=，则=_；若tan=，则=_.5.用计算器计算：sin5130+ cos4950tan4610的值是_.6.ABC中，BAC=90，AD是高，BD=9，tanB=，求AD、AC、BC.二、综合应用达标7.已知是锐角，且sin=，则cos(90)=(
2、 )A. B. C. D.8.若为锐角，tana=3，求的值.9.已知方程x25xsin+1=0的一个根为，且为锐角，求tan.10.四边形是不稳定的.如图28.114，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出的值吗？ 图28.114三、回顾展望达标11.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.315所示，则sin的值是( )A. B. C. D. 图28.115 图28.117 图28.11612.如图28.117，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，连接CD，若O的半径，AC=2，则cosB的值是( )A. B. C. D.13.在ABC中，C=90，AB=15，s
3、inA=，则BC=( )A.45 B.5 C. D.14.如图28.316，CD是RtABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cosBCD=( )A. B. C. D.15.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.118，在锐角的终边OB上，任意取两点P和P1，分别过点P和P1做始边OA的垂线PM和P1M1，M和M1为垂足.我们规定，比值_叫做角的正弦，比值_叫做角的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：_，_.说明这些比值都是由_唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量的函数. 图28.118 图28.11916.计算：21ta
4、n60+(1)0+；17.已知：如图28.119，ABC内接于O，点D在OC的延长线上，sinB=，CAD=30.(1)求证：AD是O的切线；(2)若ODAB，BC=5，求AD的长.参考答案一、基础巩固达标1.在RtABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值( )A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定思路解析：当RtABC的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A大小不变.答案：A2.已知是锐角，且cos=，则sin=( )A. B. C. D.思路解析：由cos=，可以设的邻边为4k，斜边为5k，根据勾股定理，的对边为3k，则sin=.答
5、案：C3.RtABC中，C=90，ACBC=1，则cosA=_，tanA=_.思路解析：画出图形，设AC=x，则BC=，由勾股定理求出AB=2x，再根据三角函数的定义计算.答案：，4.设、为锐角，若sin=，则=_；若tan=，则=_.思路解析：要熟记特殊角的三角函数值.答案：60,305.用计算器计算：sin5130+ cos4950tan4610的值是_.思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤.答案：0.386 06.ABC中，BAC=90，AD是高，BD=9，tanB=，求AD、AC、BC.思路解析：由条件可知ABC、ABD、ADC是相似的直角三角形，B=CAD，于是有tanCAD
6、=tanB=，所以可以在ABD、ADC中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.解：根据题意，设AD=4k，BD=3k，则AB=5k.在RtABC中，tanB=，AC=AB=k.BD=9,k=3.所以AD=43=12，AC=3=20.根据勾股定理.二、综合应用达标7.已知是锐角，且sin=，则cos(90)=( )A. B. C. D.思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为435，(90)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为45，cos(90)=.方法2.利用三角函数中互余角关系“sin=cos(90)”.答案：A8.若为锐角，t
7、ana=3，求的值.思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为31，sin=，cos=，分别代入所求式子中.方法2.利用tan=计算，因为cos0，分子、分母同除以cos，化简计算.答案：原式=.9.已知方程x25xsin+1=0的一个根为，且为锐角，求tan.思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是，进而可求出sin=，然后利用前面介绍过的方法求tan.解：设方程的另一个根为x2，则()x2=1x2=5sin=()+()，解得sin=.设锐角所在的直角三角形的对边为4k，则斜边为5k，邻边为3k，tan=.10.四边形是不稳定的.
8、如图28.114，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出的值吗？图28.114思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出的度数.解：设原矩形边长分别为a，b，则面积为ab，由题意得，平行四边形的面积S=ab.又因为S=ah=a(bsin)，所以ab=absin，即sin=.所以=30.三、回顾展望达标11.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.315所示，则sin的值是( )图28.115A. B. C. D.思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义.答案：C12.如图28.117，O是
9、ABC的外接圆，AD是O的直径，连接CD，若O的半径，AC=2，则cosB的值是( )图28.117A. B. C. D.思路解析：利用BCD=A计算.答案：D13.在ABC中，C=90，AB=15，sinA=，则BC=( )A.45 B.5 C. D.思路解析：根据定义sinA=，BC=ABsinA.答案：B14.如图28.316，CD是RtABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cosBCD=( )图28.116A. B. C. D.思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把B转移到RtADC中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”，得到ADC=B.答案：B15.课本中，是这样引入
10、“锐角三角函数”的：如图28.118，在锐角的终边OB上，任意取两点P和P1，分别过点P和P1做始边OA的垂线PM和P1M1，M和M1为垂足.我们规定，比值_叫做角的正弦，比值_叫做角的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：_，_.说明这些比值都是由_唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量的函数.图28.118思路解析：正弦、余弦函数的定义.答案：，锐角16.计算：21tan60+(1)0+；思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义.解：21tan60+(1)0+|=+1+=.17.已知：如图28.119，ABC内
11、接于O，点D在OC的延长线上，sinB=，CAD=30.图28.119(1)求证：AD是O的切线；(2)若ODAB，BC=5，求AD的长.思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA，证OAD=90.由sinB=可以得到B=30，由此得到圆心角AOD=60，从而得到ACO是等边三角形，由此OAD=90.AD是RtOAD的边，有三角函数可以求出其长度.(1)证明：如图，连接OA.sinB=，B=30.AOD=60.OA=OC，ACO是等边三角形.OAD=60.OAD=90.AD是O的切线.(2)解：ODAB OC垂直平分AB. AC=BC=5.OA=5.在RtOAD中，由正切定义，有tanAOD=. AD=.8
