1、考点规范练 20 三角函数的图象与性质 基础巩固 1.函数 y=|2sin x|的最小正周期为()A.B.2 C.2 D.4 答案:A 解析:由图象(图象略)知 T=.2.已知直线 y=m(0m0)的图象相邻的三个交点依次为A(1,m),B(5,m),C(7,m),则=()A.3 B.4 C.2 D.6 答案:A 解析:由题意,得函数 f(x)的相邻的两条对称轴分别为 x=1+52=3,x=5+72=6,故函数的周期为 2(6-3)=2,得=3,故选 A.3.已知函数 f(x)=2sin(x+)对任意 x 都有 f(6+)=f(6-),则 f(6)等于()A.2 或 0 B.-2 或 2 C.
2、0 D.-2 或 0 答案:B 解析:由 f(6+)=f(6-)知,函数图象关于 x=6 对称,f(6)是函数 f(x)的最大值或最小值.故选B.4.已知函数 f(x)=sin(+4)(0)的最小正周期为,则函数 f(x)的图象()A.关于直线 x=4 对称 B.关于直线 x=8 对称 C.关于点(4,0)对称 D.关于点(8,0)对称 答案:B 解析:函数 f(x)的最小正周期为,2=.=2.f(x)=sin(2+4).函数 f(x)图象的对称轴为 2x+4=k+2,kZ,即 x=8+2,kZ.故函数 f(x)的图象关于直线 x=8 对称,故选 B.5.y=cos(x+1)图象上相邻的最高点
3、和最低点之间的距离是()A.2+4 B.C.2 D.2+1 答案:A 解析:因为 y=cos(x+1)的周期是 2,最大值为 1,最小值为-1,所以 y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是2+4,故选 A.6.已知曲线 f(x)=sin 2x+3cos 2x 关于点(x0,0)成中心对称,若 x0 0,2,则 x0=()A.12 B.6 C.3 D.512 答案:C 解析:由题意可知 f(x)=2sin(2+3),其对称中心为(x0,0),故 2x0+3=k(kZ),即 x0=-6+2(kZ).又 x0 0,2,故 k=1,x0=3,故选 C.7.已知函数 f(x)=2co
4、s x(sin x-cos x)+1 的定义域为a,b,值域为-2,22,则 b-a 的值不可能是()A.512 B.2 C.712 D.答案:D 解析:f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=2sinxcosx-2cos2x+1=2sin(2-4),又 axb,2a-4 2x-4 2b-4.-2 2sin(2-4)22,即-1sin(2-4)12,(2-4)-(2-4)max=6 (-76)=43,(2-4)(2-4)min=6 (-2)=23,故3 b-a23,故 b-a 的值不可能是,故选 D.8.已知函数 f(x)=sin(2x+)(0 2)的图象的一个对称中心为(38,0),
5、则函数 f(x)的单调递减区间是()A.2-38,2+8(kZ)B.2+8,2+58(kZ)C.-38,+8(kZ)D.+8,+58(kZ)答案:D 解析:由题意知,sin(2 38+)=0,又 02,所以=4.所以 f(x)=sin(2+4).由2+2k2x+4 32+2k(kZ),得 f(x)的单调递减区间是+8,+58(kZ).9.关于函数 f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:f(x)是偶函数 f(x)在区间(2,)内单调递增 f(x)在-,有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.答案:C 解析:因为函数 f(x)的定义域为
6、R,关于原点对称,且 f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),所以 f(x)为偶函数,故正确;当2 x 时,f(x)=2sinx,它在区间(2,)内单调递减,故错误;当 0 x 时,f(x)=2sinx,它有两个零点 0 和;当-x0 时,f(x)=sin(-x)-sinx=-2sinx,它有两个零点-和 0;故 f(x)在区间-,上有 3 个零点-,0 和,故错误;当 x2k,2k+(kN*)时,f(x)=2sinx;当 x(2k+,2k+2(kN*)时,f(x)=sinx-sinx=0.又 f(x)为偶函数,所以 f(x)的最大值为 2,故正确
7、;综上可知正确,故选 C.10.已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+)(0),它们的图象有一个横坐标为3 的交点,则 的值是 .答案:6 解析:由题意 cos3=sin(2 3+),即 sin(23+)=12,23+=2k+6(kZ)或23+=2k+56(kZ).因为 0 0,|2)的最小正周期为 4,且 f(3)=1,则 f(x)图象的对称中心是 .答案:(2-23,0)(kZ)解析:由题意得2=4,解得=12,故 f(x)=sin(12 +),由 f(3)=1 可得12 3+=2k+2,kZ,由|0,在函数 y=2sin x 与 y=2cos x 的图象的交点中,距离最短的两个
8、交点的距离为23,则=.答案:2 解析:如图所示,在同一平面直角坐标系中,作出函数 y=2sinx 与 y=2cosx 的图象.A,B 为符合条件的两个交点.则 A(4,2),B(-34,-2).由|AB|=23,得()2+(22)2=23,解得=2,即=2.能力提升 13.已知函数 f(x)=cos(2-6),则下列结论成立的是()A.f(x)的递增区间是(2-512,2+12),kZ B.函数 f(-3)是奇函数 C.函数 f(-6)是偶函数 D.f(x)=sin(23-2)答案:D 解析:f(x)=cos(2-6)=sin2-(2-6)=sin(23-2),故 D 正确.令 2k-2x-
9、6 2k,kZ,求得 k-512 xk+12,kZ,故 A 错误.由 f(-3)=cos2(-3)-6 =cos(2-56),可知 f(-3)是非奇非偶函数,故 B 错误.由 f(-6)=cos2(-6)-6 =cos(2-2)=sin2x 是奇函数,故 C 错误.故选 D.14.若函数 f(x)=cos(2x+)的图象的一条对称轴方程为 x=1312,且-2 2,则函数 y=f(+3)为()A.奇函数,且在区间(0,4)内单调递增 B.偶函数,且在区间(0,2)内单调递增 C.偶函数,且在区间(0,2)内单调递减 D.奇函数,且在区间(0,4)内单调递减 答案:D 解析:因为函数 f(x)=
10、cos(2x+)的图象的一条对称轴方程为 x=1312,所以136+=k,kZ,即=k-136,kZ.又-2 0,|2),x=-4 为 f(x)的零点,x=4 为 y=f(x)图象的对称轴,且 f(x)在区间(18,536)内单调,则 的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5 答案:B 解析:由题意得-4 +=1,1Z,4 +=2+2,2Z,解得=1+22+4,=2(k2-k1)+1,k1,k2Z.|2,=4 或=-4.f(x)在区间(18,536)内单调,536 18 2,T6,即2 6,12.0,00)和 g(x)=3cos(2x+)的图象的对称中心完全相同,若x 0,2,则 f(x
11、)的取值范围是 .答案:-32,3 解析:由两个三角函数的图象的对称中心完全相同,可知它们的周期相同,则=2,即f(x)=3sin(2-6).当 x 0,2 时,-6 2x-6 56,解得-12 sin(2-6)1,故 f(x)-32,3.高考预测 17.已知函数 f(x)=sin(2+6),其中 x-6,.当 a=3 时,f(x)的值域是 ;若f(x)的值域是-12,1,则 a 的取值范围是 .答案:-12,1 6,2 解析:若-6 x3,则-6 2x+6 56,此时-12 sin(2+6)1,即 f(x)的值域是-12,1.若-6 xa,则-6 2x+6 2a+6.因为当 2x+6=-6 或 2x+6=76 时,sin(2+6)=-12,所以要使 f(x)的值域是-12,1,则2 2a+6 76,即3 2a,所以6 a2,即 a 的取值范围是6,2
